Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова позволяет проверить гипотезу о виде функции распределения случайной величины и ее параметрах. Выдвинем следующую гипотезу: случайная величина распределена по нормальному закону с функцией распределения

В качестве значений параметров берем рассчитанные ранее значения реализаций точечных оценок этих параметров:

=296, 6 и =18, 19509.

Рассчитаем значение реализации статистики проверки гипотезы t: критерия Колмогорова по формуле:

,

где x _i –элемент выборки, .

Расчет значений предполагаемой (гипотетической) функции F ₀(x) можно осуществлять в MS Excel, используя встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны: 1) значению x_i, 2) точечной оценке математического ожидания , 3) точечной оценке среднеквадратического отклонения , 4) значение четвертого параметра равно 1, что соответствует возвращению встроенной функцией значения функции распределения нормального закона.

Второй способ расчета значений предполагаемой функции распределения F ₀(x) основан на применении таблицы значений функции Лапласа (Приложение 6). При этом требуется нормализовать выборку значений случайной величины Х, т.е. перейти к случайной величине Y, которая является нормированной случайной величиной Х: y _i=(x_i- )/ s.;

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения Х и получить выборку х ⁿ;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Построить реализацию статистической функции распределения;

5. Задать гипотезу, что F ₀(x) есть функция распределения Х;

6. Рассчитать наблюдаемое значение критерия t,

7. Задать значение уровня значимости а и с помощью таблицы Колмогорова найти критическое значение t _α ;

8. Принять или отклонить гипотезу по правилу:

( – принять);

( – отклонить);

Зададим вероятность а =0, 05 практически невозможного события, заключающегося в том, что оценка функции распределения отклонится от значения функции принятой в качестве гипотезы, на величину большую, чем t _α P(. Если выполняется условие: t < t _α , то гипотеза принимается.

Значение параметра t _α возьмем из таблицы Колмогорова (Приложение 8), исходя из значений вероятности а =0, 05 и объема выборки n =50: t _α =0, 18841.

Наблюдаемое значение критерия (расчетное значение) получили t =0, 058, которое не превышает критического значения t _α . =0, 18841. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 4.

Выводы

В результате выполненных расчетов было установлено следующее:

1. При проведении опыта не было выявлено грубых ошибок измерения.

2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины соответственно равны:

=296, 6;

=331, 0612;

3. В результате проведенной проверки соответствия закона распределения случайной величины – времени работы программы дефрагментации диска – нормальному закону, было установлено, что с вероятностью = 0, 95 практически достоверного события выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 2004.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.-8-е изд., стер.- М.: Машиностроение, 2004.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов.- М.: Высш. шк., 1984.

4. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 2002.

5. Ю. В. Кожевников «Введение в математическую статистику» КГТУ им. А. Н. Туполева, 1996.

6. Роднищев Н.Е. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001.

7. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. «Таблицы математической статистики». М: Наука, 1983.