Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Иметь навыки
|
|
-применения векторного и координатного методов в решении геометрических и физических задач;
-оперирования с матрицами, определителями, системами линейных уравнений, операторами, действующими в аффинных и евклидовых пространствах.
Структура и содержание дисциплины (модуля)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов.
| № | Раздел дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая самостоя-тельную (в том числе индивидуальную) работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам) | ||||||||
| Лек | Сем | Сам | Сумм | ||||||||||
| Понятие линейного векторного пространства над полем. | |||||||||||||
| Система линейных уравнений и ее решения (общее, частное, базисное). Метод Гаусса решения системы. | 2-3 | Сам.работа на 20 мин. | |||||||||||
| Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг и базис системы векторов. Базис линейного пространства. | 4-5 | Инд.домработа по 1-4 темам | |||||||||||
| Алгебра матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Использование матриц в теории линейных систем уравнений | 6-7 | Коллокв по 1-4 темам | |||||||||||
| Определители. Методы вычисления определителей n-ого порядка. Применение определителей. | 8-9 | ||||||||||||
| Элементы векторной алгебры в аналитической геометрии. Скалярное, векторное, смешанное произведения. | 10-11 | ||||||||||||
| Понятие системы координат. Координатный метод в геометрии. | |||||||||||||
| Прямая и плоскость. | 13-15 | ||||||||||||
| Кривые и поверхности второго порядка. | 16-18 | Контр. Работа по 8-9 темам | |||||||||||
| Подпространства линейного пространства, их пересечение и сумма. | 1-4 | Сам. Раб. На 20 мин. | |||||||||||
| Линейные операторы. Приведение матрицы линейного оператора к каноническому виду. Изоморфизм линейных пространств. | 5-7 | Коллокв по 10-11 темам и дом.к.р | |||||||||||
| Евклидово пространство над полем вещественных и комплексных чисел. Ортонормированный базис. Ортогональные подпространства и проекции. | 8-10 | ||||||||||||
| Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах (самосопряженные и симметрические, унитарные и ортогональные). | 11-14 | ||||||||||||
| Билинейные и квадратичные формы, приведение к каноническому виду. | 15-18 | К. раб. По 12-14 темам | |||||||||||
| Зачет Экзамен | |||||||||||||
5. Содержание разделов (тем) дисциплины
Раздел 1. Понятие линейного векторного пространства.
1.1. Понятие вектора в геометрии. Операции над геометрическими векторами.
1.2. Пространство R n. Линейное пространство однотипных матриц.
Раздел 2. Общие системы линейных уравнений. Однородные системы.
2.1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения, совместные и несовместные системы, равносильные системы.
2.2. Элементарные преобразования. Правило Жордана-Гаусса исключение переменой из всех управлений, кроме одного. Приведение системы к единичному базису. Общее и частное решения.
2.3. Решение однородной системы.
Раздел 3. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг и базис векторов.
3.1. Линейная комбинация векторов. Линейно-зависимые и независимые системы векторов, их свойства. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
3.2. Линейная зависимость векторов в Rn .Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы векторов.
3.3. Ранг системы векторов. Размерность векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса.
Раздел 4. Матрицы.
4.1. Операции над матрицами. Обратная матрица.
4.2. Строчечный и столбцовый ранги матрицы, их поведение при при элементарных преобразованиях матриц. Ранг матрицы. Решение задач на отыскание ранга матрицы, ранга и базиса системы векторов, на разложение вектора по базису.
4.3. Необходимое и достаточное условие совместимости системы линейных уравнений. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Раздел 5. Определители.
5.1 Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Лапласа разложения определителя по элементам строки (столбца).
5.2. Вычисление определителей некоторых специальных матриц.
5.3. Применение определителей: критерий невырожденности квадратной матрицы. Теорема о базисном миноре, вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения ее элементов, правило Крамера решения системы линейных уравнений.
Раздел 6. Элементы векторной алгебры в аналитической геометрии.
6.1.Коллинеарные и компланарные векторы. Базис пространств коллинеарных, компланарных векторов. Понятие координат вектора. Действие над векторами в координатах.
6.2. Специальные произведения векторов: скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное, их геометрический смысл, свойства, приложения.
Раздел 7. Координатный метод в геометрии.
7.1. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки.
7.2. Решение простейших задач аналитической геометрии в координатах.
7.3. Полярные системы координат на плоскости и в пространстве.
Раздел 8. Прямая и плоскость.
8.1. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические и канонические (по точке и направляющему вектору, по двум точкам). Уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту, уравнение по точке и нормальному вектору.
8.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости и в пространстве. Геометрический смысл линейных неравенств с двумя переменными. Метрические задачи: угол между прямыми, расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве.
8.3. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, по трем точкам, общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей и трех плоскостей. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости.
8.4. Метрические задачи на прямую и плоскость: расстояние от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми, угол между двумя прямыми, двумя плоскостями, между прямой и плоскостью.
Раздел 9. Кривые и поверхности второго порядка.
9.1. Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.
9.2. Поверхности вращения. Поверхности вращения второго порядка.
9.3. Эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Канонически и цилиндрические поверхности.
Раздел 10. Подпространства линейного пространства. Изоморфизм векторных пространств.
10.1. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора и их изменение при переходе к новому базису. Изоморфизм пространств.
10.2. Понятие подпространства линейного пространства. Пересечение и сумма подпространств. Базисы пересечения и суммы.
10.3. Прямая сумма подпространств. Линейная оболочка векторов.
Раздел 11. Линейные операторы.
11.1. Определение линейного оператора, примеры, простейшие свойства. Матрица линейного оператора.
11.2. Действия с линейными операторами. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
11.3. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства и собственные векторы.
11.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к Жордановой форме.
Раздел 12. Евклидово пространство (вещественное и комплексное).
12.1.Понятие евклидова и унитарного пространств.
12.2. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Построение ортонормированных базисов. Ортогональные подпространства и проекции
Раздел 13. Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве.
13.1. Линейные функционалы. Оператор, сопряженный к данному. Самосопряженные и унитарные операторы, их свойства.
13.2. Симметрические и ортогональные операторы, действующие в вещественном евклидовом пространстве.
Раздел 14. Билинейные и квадратичные формы.
14.1. Понятие билинейной и квадратичной форм. Изменение матрицы билинейной (квадратичной) формы при линейном преобразовании.
14.2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.
14.3. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
14.4. Общее уравнение кривой и поверхности 2-го порядка, приведение его к каноническому виду. Инварианты кривой. Определение центра и главных направление кривой 2-го порядка.
Раздел 15. Элементы теории групп.
15.1. Понятие группы. Группы преобразований. Группа движений евклидовой плоскости.
15.2. Псевдоевклидова плоскость и группа ее движений. Преобразования Лоренца и некоторые следствия из них.
В соответствии с Типовым положением о вузе к видам учебной работы отнесены:
лекции, консультации, практические занятия, лабораторные работы, контрольные работы, коллоквиумы, самостоятельные работы.
6. Образовательные технологии:
При организации курса используются следующие виды учебной работы:
– лекции, практические занятия, консультации,
– выполнение двух лабораторных работ,
– контрольные и самостоятельные работы, коллоквиумы,
– поиск информации на заданную тему в учебниках и специальной литературе по заданию преподавателя, написание небольших рефератов,
– выполнение индивидуальных заданий по решению задач