Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ " АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

I семестр

1. Понятие вектора в геометрии. Линейные операции над векторами и их свойства. Понятие линейного векторного пространства. Примеры линейных векторных пространств. Пространство .

2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Элементарные преобразования системы. Равносильные системы.

3. Правило Жордана-Гаусса исключения переменной из всех уравнений системы кроме одного. Приведение системы к единичному базису. Решение системы линейных уравнений.

4. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.

5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Примеры.

6. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Линейная зависимость векторов в .

7. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы векторов. Координаты вектора в данном базисе.

8. Ранг системы векторов, его свойства. Размерность векторного пространства.

9. Понятие ранга матрицы. Решение задач по отысканию ранга матрицы.

10. Операции над матрицами, их свойства. Размерность пространства однотипных матриц размера .

11. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.

12. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).

13. Свойства определителей, методы их вычисления.

14. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений ее элементов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

15. Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения в геометрии и физике.

16. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения.

17. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения. Двойное векторное произведение.

18. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Геометрический смысл координат точки в прямоугольной декартовой системе координат.

19. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты.

20. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические уравнения по точке и направляющему вектору, по двум точкам, канонические уравнения.

21. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

22. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору в прямоугольной декартовой системе координат.

23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямойотносительно осей координат.

24. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

25. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, трем точкам, общее уравнение плоскости.

26. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая как пересечение двух плоскостей.

27. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

28. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

29. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.

30. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.

31. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.

32. Парабола, ее каноническое уравнение и свойства.

33. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.

34. Канонические уравнения поверхности второго порядка и их исследование методом сечений.

35. Конические и цилиндрические поверхности.

II семестр

36. Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма. Примеры. Теорема о размерности суммы двух подпространств.

37. Прямая сумма подпространств. Линейная оболочка системы векторов.

38. Понятие базиса векторного пространства и координат вектора. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

39. Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Простейшие свойства. Матрица линейного оператора.

40. Арифметические операции над линейными операторами и их свойства.

41. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

42. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект. Теорема о взаимосвязи между размерностями подпространств и .

43. Инвариантные подпространства линейного оператора. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных относительно некоторого оператора подпространств.

44. Понятие собственного вектора линейного оператора. Характеристический многочлен и собственные значения линейного оператора.

45. Свойства собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора (понятие).

46. Понятие евклидова пространства над полем вещественных чисел (комплексных чисел). Примеры евклидовых пространств. Длина векторов угол между двумя векторами.

47. Ортогональный базис евклидова пространства. Теорема о линейной независимости попарно ортогональных векторов данной системы. Процесс ортогонализации построения ортогональных векторов.

48. Ортогональные подпространства евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортогональности 2-х подпространств. Теорема о пересечении двух взаимно ортогональных подпространств.

49. Ортогональное дополнение подпространства , его построение. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

50. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы, ее изменение при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы.

51. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Необходимое и достаточное условие симметричности (кососимметричности). Теорема о представлении любой билинейной формы в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных форм.

52. Квадратичная форма, ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (теорема).

53. Каноническая форма квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно- и отрицательно-определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

54. Билинейные и квадратичные формы в комплексном евклидовом пространстве. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Эрмитовы билинейные и квадратичные формы.

55. Понятие оператора, сопряженного к данному. Матрица сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения.

56. Самосопряженный оператор, его матрица, свойства.

57. Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора, в евклидовом пространстве.

58. Унитарный оператор, его свойства. Канонический вид матрицы.

59. Ортогональный оператор, его свойства и матрица.

60. Ортогональные операторы, действующие в одномерном и двумерном евклидовых пространствах

Примерные варианты экзаменационных билетов (I семестр)

Билет № 1

1. Понятие вектора в геометрии; основные характеристики вектора, способы его задания, изображение; равные векторы, свойства отношения равенства векторов. Сложение векторов, свойства операции.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

3. Решить матричное уравнение .

4. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р(-3, 13, 7) на прямую и найти его длину.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности

Билет № 2

1. Умножение вектора на число, свойства операции. Коллинеарные векторы, необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Базис системы коллинеарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.

2. Строчечный и столбцовый ранги матрицы, их неизменность при элементарных преобразованиях матрицы.

3. Вычислить определитель

.

4. Составить параметрические уравнения проекции прямой , , на плоскость .

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности

Билет № 3

1. Компланарные векторы, необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Базис системы компланарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.

2. Теорема о совпадении строчечного и столбцового рангов матрицы. Понятие ранга матрицы.

3. Решить систему методом Жордана-Гаусса

4. Точка А(-3, -5) лежит на гиперболе, фокус которой имеет координаты (-2, -3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 4

1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам пространства. Понятие базиса системы векторов пространства и координат вектора в нем. Операции над векторами в координатах.

2. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

3. Вычислить определитель

.

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4, -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из одной вершины.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 5

1.Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Правило Жордана-Гаусса исключения переменой из всех уравнений кроме одного. Приведение системы к единичному базису.

3. Найти какой-нибудь базис системы векторов и небазисные векторы разложить по базисным , , , .

4. Найти ортогональную проекцию точки Р(1, 3, 5) на прямую

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 6

1. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы, определенные и неопределенные. Элементарные преобразования системы и их свойство.

3. Определить, являются ли векторы линейно зависимыми; найти ранг системы векторов , , , , .

4. Найти точку, симметричную точке Р(-13, 4, 6) относительно плоскости, проходящей через прямую , , и точку О(0, 0, 0).

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 7

1.Смешанное произведение трех векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.

3. Найти матрицу, обратную для матрицы .

4. Найти точку, симметричную точке Р(1, 3, 5) относительно прямой

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 8.

1. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки относительно системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии в пространстве: вычисление координат вектора по координатам его конца и начала, деление отрезка в данном отношении, координаты центра тяжести системы материальных точек.

2. Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы для квадратной матрицы.

3. Решить систему, используя правило Крамера

4. По данному эксцентриситету определить угол между асимптотами гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 9

1. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты

2. Свойства определителей.

3. Найти все базисы системы векторов: , , , .

4.Найти точку, симметричную точке Р (3, -4, -6) относительно плоскости, проходящей через точки М₁(-6, 1, -5), М₂(7, -2, -1), М₃(10, -7, 1).

5.Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 10

1. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические и канонические по точке и направляющему вектору, по двум точкам.

2. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).

3. Исследовать и решить систему

4. Гипербола имеет асимптоты и директрисы . Написать каноническое уравнение гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 11

1. Общее уравнение прямой линии на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

2. Ранг системы векторов, его свойства. Понятие размерности линейного пространства.

3. Решить систему, используя правило Крамера

4. Найти ортогональную проекцию вектора а (14, 2, 5) на прямую

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 12

1. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Уравнение прямой в отрезках.

2. Понятие линейного векторного пространства. Пространство Rⁿ как пример линейного пространства, другие примеры линейных пространств.

3. Чему равен ранг матрицы при различных значениях l:

4. Доказать, что прямые и скрещиваются и найти расстояние между ними.

5. Определить а) вид кривой . б) вид поверхности .

Билет № 13

1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Угол между прямыми, лежащими в плоскости.

2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, примеры. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.

3. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА существуют, причем АВ = ВА, то матрицы А и В квадратные и имеют одинаковый порядок.

4. Доказать, что прямые и параллельны и написать уравнение плоскости, в которой они лежат.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 14

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми.

2. Зависимые и независимые векторы пространства Rⁿ.

3. Доказать утверждение: для того, чтобы квадратная матрица была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была скалярной.

4.Даны вершины треугольника АВС: А(1, -1, 2), В(5, -6, 2), С(1, 3, -1). Написать уравнение плоскости, в которой лежит треугольник, и вычислить длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины В.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 15

1. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, по трем точкам. Общее уравнение плоскости.

2. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы.

3. Записать систему в матричном виде и решить с помощью обратной матрицы:

4. Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет , фокус F (- 4, 1) и уравнение соответствующей фокусу директрисы .

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 16

1. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая, как линия пересечение двух плоскостей.

2. Умножение матриц, свойства операции.

3. Пусть система векторов – линейно независима. Является ли линейно независимой система векторов , , .

4. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин В (-4, -5) и уравнения двух его высот и . Найти длину высоты этого треугольника, опущенную из вершины В.

5. Определить а) вид кривой ;

б) вид поверхности .

Билет № 17

1. Взаимное расположение прямой и плоскости; угол между прямой и плоскостью.

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.

3. Определить, линейно зависима или независима следующая система многочленов: f₁(t) = 1 - t², f₂(t) = 1 + t³, f₃(t) = t - t³, f₄(t) = 1 + t + t² + t³.

4. Даны уравнения двух сторон треугольника и и уравнение одной из его медиан . Составить уравнение третьей стороны.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 18

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

2. Свойства определителей.

3. Пусть и – произвольные векторы. Компланарны ли векторы , , .

4. Даны вершины треугольника: А(- 10, - 13), В(- 2, 3), С(2, 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

5. Определить а) вид кривой . б) вид поверхности .

Билет № 19

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

2. Понятие обратной матрицы, способы вычисления обратных матриц.

3. Вычислить определитель: .

4. Даны две противоположные вершины квадрата: А(- 1, 3), С(6, 2). Составить уравнения его сторон.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 20

1. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.

2. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов.

3. Решить матричное уравнение:

4. Дана вершина параболы А(- 2, - 1) и уравнение ее директрисы . Составить уравнение этой параболы.

5. Определить а) вид кривой

б) вид поверхности .

Билет № 21

1. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.

2. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.

3. Используя правило Крамера, найти x₂ из системы

4. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 22

1. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.

2. Понятие базиса системы векторов, теорема о единственности разложения вектора по базисным; понятие координат вектора в базисе. Операции над векторами в координатах.

3. Найти ранг матрицы .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, -2, 1) перпендикулярно к прямой Найти расстояние от точки М до заданной прямой.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности

Билет № 23

1. Парабола, ее каноническое уравнение, свойства.

2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

3. Доказать, что матрица удовлетворяет уравнению .

4. Даны точки А(0, 0, 2), В(4, 0, 5), С(5, 3, 0) Д(-1, 4, -2). Определить, лежат ли они в одной плоскости. Если они не лежат в одной плоскости, то найти высоту тетраэдра АВСД, опущенную из вершины А.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 24

1. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.

2. Свойства линейно зависимых и независимых векторов.

3. В пространстве R⁴ найти два различных базиса, имеющих общие , .

4. Найти расстояние от точки Д(-5, -4, 6) до плоскости, проходящей через точки А(2, 3, 1), В(4, 1, -2), С(6, 3, 7) и составить уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно этой плоскости.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 25

1. Преобразование сжатия пространства к плоскости; канонические уравнения поверхностей второго порядка и их исследование метолом сечений.

2. Базис пространства Rⁿ.

3. Найти общее и какое-нибудь частное решение системы:

4. Точка А(-4, 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнение сторон и второй диагонали квадрата.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Примерные варианты экзаменационных билетов (II семестр)

Билет №1

1. Понятие базиса линейного пространства и координат вектора в нем. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

2. Собственные значения унитарного оператора. Приведение матрицы унитарного оператора к каноническому базису.

3. Найти индексы инерции квадратичной формы. Определить, является ли она положительно определенной: .

Билет №2

1.Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма, Примеры.

2. Определение и геометрический смысл унитарного оператора, свойства. Особенности матрицы унитарного оператора в ортонормированном базисе.

3. Определить вид поверхности второго порядка. Найти систему координат, в которой уравнение имеет канонический вид: .

Билет №3

1. Теорема о размерности суммы двух подпространств. Задача отыскания размерности суммы и пересечения двух подпространств.

2. Матрица самосопряженного оператора, собственные значения самосопряженного оператора, приведение его матрицы к каноническому виду

3.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать канонический базис: .

Билет №4

1. Прямая сумма подпространств. Необходимое и достаточное условие того, что сумма является прямой.

2. Самосопряженный линейный оператор, его свойства. Разложение линейного оператора в линейную комбинацию самосопряженных.

3. Выписать матрицу перехода от базиса к базису , если , , ; , , . Найти координаты вектора в базисе , если в базисе он имеет координаты (-1, 0, 2).

Билет №5

1. Прямая сумма подпространств. Теорема о размерности прямой суммы подпространств и обратная к ней теорема.

2. Понятие оператора сопряженного к данному оператору. Доказательство существования. Правила сопряжения

3. Выяснить, является ли оператор линейным. Если является, то найти его матрицу, ранг, дефект, базис ядра: .

Билет №6

1. Понятия линейного отображения пространств и линейного оператора. Примеры, простейшие свойства, способы задания.

2. Понятие квадратичной формы и ее матрицы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

3. Найти уравнения, определяющие ортогональное дополнение подпространства, заданного следующей системой уравнений:

Билет №7

1. Понятие матрицы линейного оператора. Теорема о задании линейного оператора матрицей. Примеры (матрица линейного оператора дифференцирования). Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

2. Ортогональное дополнение подпространства, его свойства. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

3. Пусть – собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению l, – собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению m = l. Докажите, что .

Билет №8

1. Матрица линейного оператора. Изменение ее при переходе к новому базису.

2. Теорема о линейной независимости системы ортогональных векторов. Ортогональный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации построения ортонормированного базиса.

3. Доказать, что если j самосопряженный оператор унитарного пространства, то оператор является кососимметрическим.

Билет №9

1. Понятие евклидова пространства над полем вещественных чисел. Примеры евклидовых пространств. Длина вектора и угол между векторами.

2. Оператор, сопряженный данному, его матрица в ортонормированном базисе.

3. Докажите, что множество всех собственных векторов линейного оператора, принадлежащих одному и тому же собственному значению, является инвариантным относительно этого оператора линейным подпространством.

Билет №10

1. Линейные операции над линейными операторами (определения, примеры. свойства). Пространство линейных операторов, его размерность.

2. Ортогональные подпространства евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух подпространств. Теорема о пересечении двух взаимно ортогональных подпространств.

3. Найти все значения параметра l, при которых положительно определена квадратичная форма: .

Билет №11

1. Произведение линейных операторов, свойства этой операции. Теорема о матрице произведения операторов. Понятие обратного оператора и условия его существования.

2. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы ее изменение при переходе к новому базису.

3. Дополнить векторы до ортонормированного базиса: , .

Билет №12

1.Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте линейного оператора.

2. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Необходимое и достаточное условие симметричности и кососимметричности формы.

3.Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство, натянутое на векторы , .

Билет №13

1. Ядро и образ линейного оператора. Примеры отыскания ядра и образа. Терема о существовании линейного оператора, для которого одно из заданных двух подпространств, составляющих в прямой сумме все пространство, является ядром, а другое – образом.

2. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Теорема о представлении произвольной билинейной формы в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных форм.

3. Построить ортонормированный базис пространства, натянутого на векторы:

, , .

Билет №14

1. Нормальная форма квадратичной функции. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

2. Свойства собственных векторов линейного оператора.

3. Доказать, что если некоторое подпространство унитарного пространства инвариантно относительно линейного оператора j, то ортогональное дополнение этого подпространства инвариантно относительно сопряженного оператора.

Билет №15

1. Вырожденные и невырожденные линейные операторы. Необходимые и достаточные условия невырожденности линейного оператора.

2. Общее уравнение кривой второго порядка и его приведение к каноническому виду.

3. Доказать, что все n -мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образуют подпространство в R ⁿ. Найти базис и размерность этого подпространства.

Билет №16

1. Инвариантные подпространства линейного оператора. Теорема о пересечении и сумме инвариантных подпространств. Инвариантность ядра и образа линейного оператора.

2. Ортогональные операторы, их свойства. Матрица ортогонального оператора.

3. Скалярное произведение в пространстве многочленов степени не выше двух определено формулой.

.

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис этого пространства, если задан базис 1, t, t ².

Билет №17

1. Понятие собственного вектора линейного оператора, Характеристический многочлен и собственные значения линейного оператора. Теорема о существовании собственных векторов.

2. Понятие евклидова пространства над полем комплексных чисел. Примеры Длина вектора и угол между векторами в унитарном пространстве.

3. Доказать, что 1) если А – самосопряженный оператор, то есть вещественное число; 2) если А –унитарный оператор, то .

Билет №18

1. Инвариантные подпространства линейного оператора. Матрица линейного оператора, имеющего инвариантные подпространства. Теорема о разложении пространства, в котором действует оператор, в прямую сумму инвариантных относительно его подпространств.

2. Ортогональное дополнение подпространства, его свойства. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

3. Найти базисы суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы , , и векторы , , .

Билет №19

1. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

2.Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма. Линейная оболочка конечной системы векторов. Базис линейной оболочки.

3. Линейное подпространство задано уравнениями

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение этого подпространства.

Билет №20

1. Понятие собственного вектора линейного оператора. Теорема о существовании собственных векторов. Алгоритм отыскания собственных векторов.

2. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

3. При каких значениях a следующие матрицы будут ортогональны:

А) ; б) .

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМАМ