Основные операции над матрицами

Две матрицы =() и =() равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.

,

если

=

для всех и .

Сумма двух матриц =() и =() размера есть матрица =() размера , у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.

,

если

= +

для всех и .

Произведение матрицы =() размера на число есть матрица размера , у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на :

= ()=( ).

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу .

◄ = = =

= = . ►

Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавление противоположной матрицы – (– ):

= .

Произведение матрицы =() размера на матрицу =() размера есть матрица =() размера

() () (),

где

= .

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы . В каждом произведении матриц форма матриц и должна быть согласованной: число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы . Из существования произведения вовсе не следует существование произведения .Если существуют оба произведения и (это, в частности, будет всегда, если и – квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря, .

Пример. Даны матрицы и . Найти .

◄ = =

= = . ►

Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения

(, – числа, , , – матрицы, – единичная матрица):

, ,

, ,

, ,

, ,

( – квадратная матрица).