Справочный материал к заданию. 1. Уравнения прямой на плоскости:

1. Уравнения прямой на плоскости:

Ø общее уравнение прямой l: Ax + By + C = 0, где A, B, С – числа, A ² + B ² ¹ 0; нормальный вектор прямой N = { A; B } ^ l; направляющий вектор прямой а = { B; – A } || l; N ^ l;

Ø уравнение прямой, проходящей через точку М (x ₀; y ₀) перпендикулярно вектору N = { A; B }: A (x – х ₀) + B (y – y ₀)= 0;

Ø уравнение прямой, проходящей через точку М (x ₀; y ₀) с заданным направляющим вектором a = { a_x; a_y }(каноническое уравнение прямой): ;

Ø уравнение прямой, проходящей через две точки М ₁(x ₁; y ₁) и М ₂(x ₂; y ₂) при x ₁ ¹ x ₂ и y ₁ ¹ y ₂:

или = 0

(при x ₁ = x ₂ и y ₁ ¹ y ₂ уравнение прямой имеет вид x = x ₁, а при y ₁ = y ₂ и x ₁ ¹ x ₂ – вид y = y ₁);

Ø уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg j , где j – угол между прямой и положительным направлением оси х, отсчитываемый от этой оси против часовой стрелки: y = k × x + b, число b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

Ø уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М (x ₀; y ₀):

y – y ₀= k × (x – x ₀);

Ø уравнение прямой в отрезках, не проходящей через начало координат: , где а – абсцисса точки пересечения прямой с координатной осью х, b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

Ø нормальное уравнение прямой: х × cos a + y × sin a – p = 0,

где p – расстояние от начала координат до прямой, a – угол

между осью Ох и перпендикуляром к прямой из начала коор-

динат (длиной р ³ 0); чтобы составить нормальное уравнение

прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, доста-

точно разделить данное уравнение на , причем верх-

ний знак берется, когда С > 0, а нижний – когда С < 0; если же

С = 0, то выбор знака не имеет значения;

Ø полярное уравнение прямой: r(j)= р /cos(j – a), где р ¹ 0;

Ø параметрические уравнения прямой с направляющим вектором a = { a_x; a_y }, проходящей через точку М (x ₀; y ₀):

2. Расстояние от точки Р (x ₀; y ₀) до прямой Ax + By + C = 0(т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Р (x ₀; y ₀) на прямую): .

3.Косинус острого угла a между прямыми A ₁ x + B ₁ y + C ₁= 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂= 0на плоскости (угол между векторами N ₁ = { A ₁; B ₁} и N ₂ = { A ₂; B ₂}): .

4. Уравнения плоскости:

Ø общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, С, D –числа, A ² + B ² + С ² ¹ 0; нормальный вектор плоскости N = { A; B; С } ^ плоскости;

Ø уравнение плоскости, проходящей через точку М (x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно вектору N = { A; B; С }: A × (x – х ₀) + B× (y – y ₀) + С × (z – z ₀) = 0;

Ø уравнение плоскости в отрезках – уравнение плоскости, не проходящей через начало координат: , где а – абсцисса точки пересечения плоскости с координатной осью х, b – ордината точки пересечения плоскости с координатной осью y, с – аппликататочки пересечения плоскости с координатной осью z;

Ø уравнение плоскости, проходящей через три точки М ₁(x ₁; y ₁; z ₁), М ₂(x ₂; y ₂; z ₂) и М ₃(x ₃; y ₃; z ₃), не лежащих на одной прямой: = 0;

Ø нормальное уравнение плоскости: x× cos a + y × cos b+ z × cos g – p = 0, где cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы нормального вектора плоскости N = { A; B; С }, исходящего из начала координат, т.е. косинусы углов между указанным вектором N и положительными направлениями координатных осей x, y, z соответственно; чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, достаточно разделить данное уравнение на , причем верхний знак берется, когда D > 0, а нижний – когда D < 0; если же D = 0, то выбор знака не имеет значения.

5. Расстояние от точки Р (x ₀; y ₀; z ₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: .

6. Косинус острого угла j между плоскостями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0:

,

где N ₁ = { A ₁; B ₁; С ₁} и N ₂ = { A ₂; B ₂; С ₂} – нормальные векторы 1-й и 2-й плоскости, соответственно.

7. Уравнения прямой в пространстве:

Ø общие уравнения прямой в пространстве (уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей) A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂= 0:

направляющий вектор этой прямой а = N ₁´ N ₂ = , а точка на прямой определяется решением системы при фиксированном значении одной из переменных, например, при z ₀ = 0 значения x ₀, y ₀ являются решением системы

Ø канонические уравнения прямой – уравнения прямой, проходящей через точку М (x ₀; y ₀; z ₀), с заданным направляющим вектором a = { a_x; a_y; a_z }: ;

Ø уравнения прямой, проходящей через две точки М ₁(x ₁; y ₁; z ₁), М ₂(x ₂; y ₂; z ₂): ;

Ø параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (x ₀; y ₀; z ₀), с заданным направляющим вектором a = { a_x; a_y; a_z }: х = х ₀ + t·a_x; y = y ₀ + t·a_y; z = z ₀ + t·a_z.

8. Угол между прямой и плоскостью – острый угол qмежду прямой и ее проекцией на плоскость; если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость – общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то sin q = , где N = { A; B; С } – нормальный вектор плоскости, a = { a_x; a_y; a_z } – направляющий вектор прямой.

9. Угол между двумя прямыми в пространстве: если известны направляющие векторы a ₁ и a ₂ двух прямых в пространстве соответственно, то косинус острого угла a между этими прямыми:

cos a= .

Пример решения задания №2