Решение. а) Составляем канонические уравнения прямой AB по координатам двух точек A(2; 3; 1) и B(4; 1; – 2) на этой прямой:

а) Составляем канонические уравнения прямой AB по координатам двух точек A (2; 3; 1) и B (4; 1; – 2) на этой прямой:

, где х ₁ = 2, у ₁ = 3, z ₁ = 1; х ₂ = 4, у ₂ = 1, z ₂ = – 2. Т.о.,

АВ: , или .

б) Составляем общее уравнение плоскости ABC по координатам трех точек на этой плоскости A (2; 3; 1), B (4; 1; – 2), C (6; 3; 7): = 0, где х ₁ = 2, у ₁ = 3, z ₁ = 1; х ₂ = 4, у ₂ = 1, z ₂ = – 2; х ₃ = 6, у ₃ = 3, z ₃ = 7. Т.о., АВС: = 0, или, = 0. Разлагая этот определитель по первой строке, получим: (х – 2)× (– 12) – (у – 3)× 24 + (z – 1)× 8 = 0. т.е. уравнением плоскости, содержащей D АВС, является: – 12 х – 24 у + 8 z + 88 = 0, или 3 х + 6 у – 2 z – 22 = 0.

в) Перед тем, как составить канонические уравнения прямой DO отметим, что нормальный вектор плоскости АВС N = {3; 6; – 2} является направляющим вектором высоты DO, опущенной из вершины D треугольной пирамиды на ее основание АВС.

Теперь составляем канонические уравнения прямой DO по координатам точки D (– 5; – 4; 8) на этой прямой и направляющему вектору а = {3; 6; – 2} этой прямой: , где х ₀ = – 5, у ₀ = – 4, z ₀ = 8; а_х = 3, а_у = 6, а_z = – 2. Следовательно, DO: .

г) Прежде, чем найти угол между ребром AD и гранью ABC, определим канонические уравнения прямой AD по координатам точек A (2; 3; 1)и D (– 5; – 4; 8): , или , или .

Теперь находим синус острого угла q между ребром AD, направляющий вектор которого а¢ = {1; 1; –1}, и гранью ABC с нормальным вектором N = {3; 6; – 2}: sin q = = = ≈ 0, 9073.

Следовательно, q ≈ arc sin 0, 9073 ≈ 65, 13°.

д) Находим длину высоты DO, т.е. расстояние от точки D (– 5; – 4; 8) до плоскости ABC: 3 х + 6 у – 2 z – 22 = 0. Поскольку расстояние от точки Р (х ₀; у ₀; z ₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: , то искомая длина высоты DO равна = 11 лин. ед.

Ответ: а) АВ: ;

б) АВС: 3 х + 6 у – 2 z – 22 = 0;

в) DO: ;

г) q ≈ arc sin 0, 9073 ≈ 65, 13°;

д) 11 лин. ед.