Уравнение окружности радиуса R с

центром в точке (x ₀; y ₀):

(x − x ₀)² + (y − y ₀)² = R ².

6. Эллипс – множество всех точек M плоскости, сумма расстояний которых до

двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2 а, большая, чем расстояние между фокусами 2 с: r ₁ + r ₂ = 2 a > 2 c > 0.

7. Каноническое уравнение эллипса: ,

где 0 < b < a, точки F ₁(c; 0) и F ₂(− c; 0) – фокусы эл-

липса; точки A ₁(a; 0), A ₂(− a; 0), B ₁(b; 0), B ₂(− b; 0) –

вершины эллипса, отрезок A ₁ A ₂ длиной 2 а – боль-

шая ось, отрезок В ₁ В ₂ длиной 2 b – малая ось эл-

липса; точка О (0; 0) – центр эллипса; длина отрезка

F ₁ F ₂, равная 2 с = 2× , – фокусное расстояние.

8. Гипербола – множество всех точек М плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2 а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2 с: | r ₁ – r ₂| = 2 а < 2 с.

9. Каноническое уравнение гиперболы:

, где точки F ₁(c; 0) и F ₂(− c; 0) –

фокусы гиперболы, точки A ₁(a; 0), A ₂(− a; 0)

– вершины гиперболы, точка О (0; 0) – центр

гиперболы, отрезок A ₁ A ₂ длиной 2 a – действи-

тельная ось, отрезок В ₁ В ₂ длиной2 b – мни-

мая ось гиперболы, длина отрезка F ₁ F ₂, рав-

ная 2 с, – фокусное расстояние, 2 c = 2

прямые y = × х, y = – × х − асимптоты гиперболы; a > 0, b > 0, c > 0. Если a = b, то гиперболаназывается равносторонней. Гиперболы и или называются сопряженными, они имеют общие асимптоты, ветви гиперболы находятся в верхнем и нижнем секторах этих пересекающихся асимптот и имеют вершины в точках В ₁ и В ₂, мнимая ось одной гиперболы является действительной для ей сопряженной и наоборот.

10. Парабола − множество всех точек М плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).

11. Каноническое уравнение параболы: y ²= 2 px, где p – фокальный параметр параболы; точка О (0; 0) – вершина параболы; точка F (p/ 2; 0) – фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса (фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось параболы.

12. Директриса кривой второго порядка (кроме окружности) – прямая, расстояние между которой и любой точкой M на кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой.

Примечание: директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы; у окружности нет директрис.Задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F ₁).

13. Эксцентриситет ε кривой второго порядка (кроме окружности) – отношение расстояния r от точки M до фокуса кривой второго порядка к расстоянию d от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы, т.е. эксцентриситет ε = r/d. Для эллипса ε = r/d = c/a < 1; для гиперболы ε = r/d = c/a > 1; для параболы ε = r/d = 1; у окружности эксцентриситет равен 0.

14. Уравнения директрис кривых второго порядка: уравнения директрис эллипса и гиперболы: х = ± а /e = ± а ²/ с, где; уравнение директрисы параболы x = − p/ 2.

15. Если алгебраическое уравнение А∙ x ² + В∙ x∙ y + С∙ y ² + D∙ x + E∙ y + F = 0 задает кривую второго порядка, то тип этой кривой определяется значением определителя d = : при d > 0 кривая 2-го порядка – эллипс (в случае А = С и В = 0 – окружность), при δ < 0 – гипербола, при δ = 0 – парабола.

16. Главные оси кривой второго порядка – координатные оси правой прямоугольной системы координат, в которой уравнение этой кривой является каноническим.

Указания к выполнению задания №3:

1) По знаку определителя d = квадратичной формы в уравнении кривой второго порядка А∙ x ² + В∙ x∙ y + С∙ y ² + D∙ x + E∙ y + F = 0 (в уравнении задания В = 0) определить тип этой кривой (эллипс или гипербола).

2) Используя способ Лагранжа, выделить в левой части уравнения полные квадраты (х – х ₀)² и (у – у ₀)² для соответствующих переменных, входящих в уравнение во второй степени. Определить координаты центра системы координат О ¢ (х ₀; у ₀), оси которой О ¢ u и О ¢ v направлены вдоль главных осей кривой 2-го порядка и параллельны осям Ох и Оу.

3) Алгебраическими преобразованиями привести уравнение к каноническому виду соответствующей кривой: – для эллипса (а ² > b ²), – для гиперболы. Записать значения а, b и с: для эллипса , для гиперболы .

4) С учетом нового центра координат О ¢ (х ₀; у ₀) по значениям а и b построить эллипс или гиперболу, задаваемых исходным уравнением.

5) Определить направления главных осей О ¢ u и О ¢ v кривой 2-го порядка: ось О ¢ u направлена вдоль большей оси эллипса или вдоль действительной оси гиперболы сонаправлено координатной оси Ох или оси Оу, ось О ¢ v перпендикулярна оси О ¢ u и с этой осью образует правую систему координат.

6) Записать координаты вершин и фокусов кривой, уравнения асимптот (для гиперболы) и директрис, вычислить эксцентриситет кривой.

Характеристики кривой	Произведенная замена переменных	Эллипс	Гипербола
Координаты вершин	Если: х – х 0= u, y – y 0= v, т.е. если О ¢ u Ох	А 1(а + х 0; у 0); А 2(– а + х 0; у 0); В 1(x 0; b + y 0); B 2(x 0; – b + y 0)	А 1(а + х 0; у 0); А 2(– а + х 0; у 0)
Если: y – y 0 = u, х – х 0 = – v, т.е. если О ¢ u Оу	А 1(х 0; а + у 0); А 2(х 0; – а + у 0); В 1(– b + х 0; у 0); B 2(b + х 0; у 0)	А 1(х 0; а + у 0); А 2(х 0; – а + у 0)
Координаты фокусов	Если: х – х 0 = u, y – y 0= v	F 1(с + х 0; у 0), F 2(– с + х 0; у 0)
Если: y – y 0 = u, х – х 0 = – v	F 1(х 0; с + у 0), F 2(х 0; – с + у 0)
Уравнения директрис	Если: х – х 0= u, y – y 0= v	х =
Если: y – y 0 = u, х – х 0 = – v	у =
Уравнения асимптот	Если: u = х – х 0, v = y – y 0	–	у = + у 0
Если: u = y – y 0, v = х – х 0	–	у = + у 0

Пример решения задания №3