Решение. а) В квадратичной форме уравнения кривой х2 + 3у2 – 6х – 12у + 15 = 0: А = 1, В = 0, С = 3, то определитель d = = = 3 > 0

а) В квадратичной форме уравнения кривой х ² + 3 у ² – 6 х – 12 у + 15 = 0: А = 1, В = 0, С = 3, то определитель d = = = 3 > 0. Следовательно, кривая, задаваемая этим уравнением, – эллипс.

Выделим полные квадраты переменных способом Лагранжа. Для этого в уравнении кривой группируем неизвестные: (х ² – 6 х) + (3 у ²– 12 у) + 15 = 0. Поскольку х ² – 6 х = (х ² – 6 х + 9) – 9 = (х – 3)² – 9 и 3 у ²– 12 у = 3× (у ² – 4 у) = 3× (у ² – 4 у + 4) – 12 = 3× (у – 2)² – 12, то уравнение кривой принимает вид: (х – 3)² – 9 + 3× (у – 2)² – 12 + 15 = 0, или (х – 3)² + 3× (у – 2)² = 6. После деления полученного уравнения на 6 получаем: = 1.

Больший знаменатель полученного уравнения эллипса является параметром а ², т.е. а ² = 6 и b ² = 2. Т.о., имеем: а = ≈ 2, 45; b = ≈ 1, 41; с = = = 2.

Поскольку согласно полученному уравнению большая ось 2 а эллипса параллельна оси Ох, то ось О ¢ u Ох а ось О ¢ v, образуя с О ¢ u правую систему координат, сонаправлена оси Оу, что соответствует замене переменных: х – х ₀ = х – 3 = u, y – y ₀= y – 2 = v. В координатной системе О ¢ uv получаем каноническое уравнение эллипса: = 1, причем поскольку х ₀ = 3, у ₀ = 2, то центр этой координатной системы О ¢ (х ₀; у ₀) соответствует точке О ¢ (3; 2).

Для построения эллипса чертим в координатной системе О ¢ uv прямоугольник с центром в точке О ¢ и сторонами длиной 2 а = 2× ≈ 4, 9, параллельными оси О ¢ u, и длиной 2 b = 2× ≈ 2, 82, параллельными оси О ¢ v, в который и следует вписать эллипс:

Записываем с учетом произведенной замены переменных координаты вершин А ₁(а + х ₀; у ₀); А ₂(– а + х ₀; у ₀); В ₁(x ₀; b + y ₀); B ₂(x ₀; – b + y ₀) и фокусов F ₁(с + х ₀; у ₀), F ₂(– с + х ₀; у ₀) эллипса, уравнения директрис х = и находим значение эксцентриситета этого эллипса ε = c/a.

Вершины эллипса: А ₁( + 3; 2); А ₂(– + 3; 2); В ₁(3; + 2); B ₂(3; – + 2).

Фокусы эллипса F ₁(5; 2), F ₂(1; 2).

Уравнения директрис: х = 6 и х = 0.

Эксцентриситет: ε = 2 / .

б) В квадратичной форме уравнения кривой 4 х ² + у ² + 16 х – 2 у + 8 = 0: А = 4, В = 0, С = 1, то определитель d = = = 4 > 0. Следовательно, кривая, задаваемая этим уравнением, – эллипс.

Выделим полные квадраты переменных способом Лагранжа. Для этого в уравнении кривой группируем неизвестные: (4 х ² + 16 х) + (у ²– 2 у) + 8 = 0. Поскольку 4 х ² + 16 х = 4× (х ² + 4 х) = 4× (х ² + 4 х + 4) – 16 = 4× (х + 2)² – 16 и у ²– 2 у = (у ² – 2 у + 1) – 1 = (у – 1)² – 1, то уравнение кривой принимает вид: 4× (х + 2)² – 16 + (у – 1)² – 1 + 8 = 0, или 4× (х + 2)² + (у – 1)² = 9. После деления полученного уравнения на 9 и переноса всех коэффициентов при переменных в знаменатели дробей получаем: = 1.

Больший знаменатель полученного уравнения эллипса является параметром а ², т.е. а ² = 9 и b ² = 2, 25. Т.о., имеем: а = 3; b = 1, 5; с = = = = ≈ 2, 6.

Поскольку согласно полученному уравнению большая ось 2 а эллипса параллельна оси Оу, то ось О ¢ u Оу а ось О ¢ v, образуя с О ¢ u правую систему координат, направлена противоположно оси Ох, что соответствует замене переменных: y – y ₀= y – 1 = u, х – х ₀ = х + 2= – v. В координатной системе О ¢ uv получаем каноническое уравнение эллипса: = 1, причем поскольку х ₀ = – 2, у ₀ = 1, то центр этой координатной системы О ¢ (х ₀; у ₀) соответствует точке О ¢ (– 2; 1).

Для построения эллипса чертим в координатной системе О ¢ uv прямоугольник с центром в точке О ¢ и сторонами длиной 2 а = 6, параллельными оси О ¢ u, и длиной 2 b = 3, параллельными оси О ¢ v, в который и следует вписать эллипс:

Записываем с учетом произведенной замены переменных координаты вершин А ₁(х ₀; а + у ₀); А ₂(х ₀; – а + у ₀); В ₁(– b + х ₀; у ₀); B ₂(b + х ₀; у ₀) и фокусов F ₁(х ₀; с + у ₀), F ₂(х ₀; – с + у ₀) эллипса, уравнения директрис у = и находим значение эксцентриситета этого эллипса ε = c/a.

Вершины эллипса: А ₁(– 2; 4); А ₂(– 2; – 2); В ₁(– 3, 5; 1); B ₂(– 0, 5; 1).

Фокусы эллипса F ₁(– 2; + 1), F ₂(– 2; – + 1).

Уравнения директрис: у = 2 + 1 и у = – 2 + 1.

Эксцентриситет: ε = / 2.

в) В квадратичной форме уравнения кривой х ² – у ² + 6 х – 2 у + 6 = 0: А = 1, В = 0, С = – 1, то определитель d = = = – 1 < 0. Следовательно, кривая, задаваемая этим уравнением, – гипербола.

Выделим полные квадраты переменных способом Лагранжа. Для этого в уравнении кривой группируем неизвестные: (х ² + 6 х) – (у ²+ 2 у) + 6 = 0. Поскольку х ² + 6 х = (х ² + 6 х + 9) – 9 = (х + 3)² – 9 и у ²+ 2 у = (у ² + 2 у + 1) – 1 = (у + 1)² – 1, то уравнение кривой принимает вид: (х + 3)² – 9 – (у + 1)² + 1 + 6 = 0, или (х + 3)² – (у + 1)² = 2. После деления полученного уравнения на 2 получаем: = 1.

Поскольку согласно полученному уравнению действительная ось гиперболы параллельна оси Ох, то ось О ¢ u Ох а ось О ¢ v, образуя с О ¢ u правую систему координат, сонаправлена оси Оу, что соответствует замене переменных: х – х ₀ = х + 3 = u, y – y ₀= y + 1 = v. В координатной системе О ¢ uv получаем каноническое уравнение гиперболы = 1: = 1, причем поскольку х ₀ = – 3, у ₀ = –1, то центр этой координатной системы О ¢ (х ₀; у ₀) соответствует точке О ¢ (– 3; – 1).

Действительной оси гиперболы соответствует знаменатель а ², т.е. а ² = 2. В рассматриваемом примере и b ² = 2. Т.о., имеем: а = ≈ 1, 41; b = ≈ 1, 41; с = = = 2.

Для построения гиперболы чертим в координатной системе О ¢ uv прямоугольник с центром в точке О ¢ и сторонами длиной 2 а = 2× ≈ 2, 82, параллельными оси О ¢ u, и длиной 2 b = 2× ≈ 2, 82, параллельными оси О ¢ v (т.е. в данном примере прямоугольник является квадратом). Проводим диагонали этого прямоугольника и вписываем между ними вне прямоугольника ветви гиперболы, вершины которой должны касаться боковых сторон прямоугольника:

Записываем с учетом произведенной замены переменных координаты вершин А ₁(а + х ₀; у ₀); А ₂(– а + х ₀; у ₀); фокусов F ₁(с + х ₀; у ₀), F ₂(– с + х ₀; у ₀) гиперболы, уравнения асимптот у = + у ₀, директрис х = и находим значение эксцентриситета этой гиперболы ε = c/a.

Вершины гиперболы: А ₁( – 3; – 1); А ₂(– – 3; – 1).

Фокусы гиперболы F ₁(– 1; – 1), F ₂(– 5; – 1).

Уравнения асимптот: у = х + 2; у = – х – 4.

Уравнения директрис: х = – 2 и х = – 4.

Эксцентриситет: ε = 2 / = .

г) В квадратичной форме уравнения кривой 5 х ² – 4 у ² + 10 х + 16 у + 9 = 0: А = 5, В = 0, С = – 4, то определитель d = = = – 20 < 0. Следовательно, кривая, задаваемая этим уравнением, – гипербола.

Выделим полные квадраты переменных способом Лагранжа. Для этого в уравнении кривой группируем неизвестные: (5 х ² + 10 х) – (4 у ²– 16 у) + 9 = 0. Поскольку 5 х ² + 10 х = 5× (х ² + 2 х) = 5× (х ² + 2 х + 1) – 5 = 5× (х + 1)² – 5 и 4 у ²– 16 у = 4× (у ² – 4 у) = 4× (у ² – 4 у + 4) – 16 = 4× (у – 2)² – 16, то уравнение кривой принимает вид: 5× (х + 1)² – 5 – 4× (у – 2)² + 16 + 9 = 0, или 5× (х + 1)² – 4(у – 2)² = –20. После деления полученного уравнения на (– 20) получаем: = 1.

Поскольку согласно полученному уравнению действительная ось гиперболы параллельна оси Оу, то ось О ¢ u Оу а ось О ¢ v, образуя с О ¢ u правую систему координат, направлена противоположно оси Ох, что соответствует замене переменных: у – у ₀ = у – 2 = u, х – х ₀= х + 1 = – v. В координатной системе О ¢ uv получаем каноническое уравнение гиперболы = 1: = 1, причем поскольку х ₀ = – 1, у ₀ = 2, то центр этой координатной системы О ¢ (х ₀; у ₀) соответствует точке О ¢ (– 1; 2).

Действительной оси гиперболы соответствует знаменатель а ², т.е. а ² = 5, b ² = 4. Т.о., имеем: а = ≈ 2, 24; b = 2; с = = = 3.

Для построения гиперболы чертим

в координатной системе О ¢ uv прямоу-

гольник с центром в точке О ¢ и сторо-

нами длиной 2 а = 2× ≈ 4, 48, парал-

лельными оси О ¢ u, и длиной 2 b = 4,

параллельными оси О ¢ v. Проводим

диагонали этого прямоугольника и

вписываем между ними вне прямоу-

гольника ветви гиперболы, вершины

которой должны касаться боковых

сторон прямоугольника:

Записываем с учетом произведенной замены переменных координаты вершин А ₁(х ₀; а + у ₀); А ₂(х ₀; – а + у ₀); фокусов F ₁(х ₀; с + у ₀), F ₂(х ₀; – с + у ₀) гиперболы, уравнения асимптот у = + у ₀, директрис y = и находим значение эксцентриситета этой гиперболы ε = c/a.

Вершины гиперболы: А ₁(– 1; + 2); А ₂(– 1; – + 2).

Фокусы гиперболы F ₁(– 1; 5), F ₂(– 1; – 1).

Уравнения асимптот: у = × (х + 1) + 2; у = – × (х + 1) + 2.

Уравнения директрис: y = 11/3 и y = 1/3.

Эксцентриситет: ε = 3 / .