Справочный материал к заданию

1. Функция (числовая функция) у = у (х) – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х Î соответствует единственное значение у; независимая переменная х называется аргументом функции.

2. Числовая последовательность – функция, областью определения которой является множество натуральных чисел; числовая последовательность обозначается как { u_n }, n Î .

3. Монотонная числовая последовательность – возрастающаяпоследовательность (т.е. последовательность { u_n }, в которой u_n £ u_{n +1} для всех п) или убывающая последовательность (т.е. последовательность { u_n }, в которой u_n £ u_{n +1} для всех п).

4. Ограниченная числовая последовательность – последовательность { u_n }, для которой существует такое число С Î , что | u_n | £ C для всех n.

5. Предел числовой последовательности { u_n } – такое конечное число А, что с ростом п величина | u_n – A | сколь угодно близко приближается к нулю, т.е. для любого сколь угодно маленького числа ε > 0, начиная с некоторого номера N (т.е. при n ³ N) будет выполняться неравенство | u_n – A | < ε; обозначение предела числовой последовательности:

6. Теорема Вейерштрасса: если, начиная с некоторого номера N, последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

7. Сходящейся числовая последовательность – последовательность { u_n }, имеющая конечный предел; неограниченно возрастающая монотонная последовательность (обозначение: ), неограниченно убывающая монотонная последовательность (обозначение: ) и последовательность, для которой предела не существует, называется расходящейся.

8. Бесконечно большие последовательности – последовательности { u_n }, для которых или ; обозначение бесконечно больших последовательностей: .

9. Бесконечно малые последовательности – последовательности { u_n }, для которых .

10. Предел функции у = у (х) в точке х = х ₀ – такое конечное число А, что для любой бесконечной последовательности точек { x_n } на оси х, сходящейся к точке х = х ₀, т.е. когда = х ₀, соответствующая последовательность { y_n = y (х_n)} сходится к точке y = А, т.е. когда = А; обозначение предела функции у = у (х) в точке х = х ₀: = А. Число А называется пределом функции y = y (x)при х ® + ∞, если с ростом х значение функции подходит как угодно близко к А: = А; если же при х ® – ∞, значение функции y = y (x)стремится к числу В, то = В; если А = В, то обозначение предела функции: = = А.

11. Бесконечно большая – функция y= y (х), для которой = ∞, где х ₀ – конечное число или ∞ (т.е. один из символов + ∞, или – ∞).

12. Бесконечно малая в окрестности точки х = х ₀ – функция y= y (х), для которой = 0, где х ₀ – конечное число; бесконечно малая на бесконечности – функция y= y (х), для которой = 0, где ¥ один из символов + ∞, или – ∞.

13. Бесконечно малые одного порядка в окрестности точки х ₀ – бесконечно малые у ₁(х) и у ₂(х), предел отношения которых в точке х = х ₀ равен конечному числу А ≠ 0; если = 0, то у ₁(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем у ₂(х), что обозначается как: у ₁(х) = ο (у ₂(х)).

14. Эквивалентные бесконечно малые в окрестности точки х = х ₀ – бесконечно малые у ₁(х) и у ₂(х), предел отношения которых в точке х = х ₀ равен 1 (обозначение эквивалентных малых: у ₁(х) ~ у ₂(х)). Примеры эквивалентных малых в окрестности точки х = 0: sin α (х) ~ tg α (х) ~ arcsin α (х) ~ arctg α (х) ~ e^{α (х)} – 1 ~ α (х); a ^{α (х)} – 1 ~ α (х)·ln a; ln(1 ± α (х)) ~ ± α (х); log _a (1 ± α (х)) ~ ; (1 ± α (х)) ^a – 1 ~ ± a ·α (х); 1 – cos α (х) ~ .

15. Таблица некоторых пределов функций:

№№ п/п	Пределы	Примечания
1.	= = 1	1-й замечательный предел
2.	= (1∞ ) = е; = (1∞ ) = е	2-й замечательный предел, е» 2, 7183
3.	= (1∞ ) = ; = (1∞ ) =
4.	= = 1; = =	0 < a < + ¥, a ≠ 1
5.	= = 1; = = ln a	0 < a < + ¥, a ≠ 1
6.	= = a	a ≠ 0
7.	= (∞ 0) = 1	– ∞ < a < + ∞
8.	= 1, в частности, =1	– ∞ < a < + ∞; неопределенность типа ∞ 0 при 0 < a < + ¥ и типа 00 при – ¥ < а < 0
9.	= 1	0 < a < 1; неопределенности нет: 10 = 1
10.	= 1	0 < a < + ¥; неопределенности нет: С 0 = 1
11.	= 0; = + ∞	0 < a < 1
12.	= +∞; = 0	1 < a < + ¥
13.	= + ∞	0 < a < + ¥
14.	= 0	– ¥ < а < 0
15.	= – ∞	0 < a < 1
16.	= + ∞	1 < a < + ¥

16. Методы вычисления предела функци и :

Ø заменить аргумент функции х его предельным значением х ₀, используя свойства непрерывных функций: = у (х ₀), где х ₀ внутренняя или граничная точка области определения непрерывной функции у = у (х): если в результате получено конечное число А или бесконечное значение предела (+ ∞ или – ∞), то предел найден;

Ø если у (х ₀) представляет неопределенность, то использовать методы ее раскрытия:

– для раскрытия неопределенностей вида и (при этом можно свести к , т.к. отношение бесконечно больших β ₁/β ₂ в силу β ₁ = 1/α ₁ и β ₂ = 1/α ₂, где α ₁ и α ₂ – бесконечно малые, можно заменить отношением α ₂/ α ₁ = β ₁/β ₂):

а) использовать пределы в приведенной таблице непосредственно или после выполнения определенных тождественных преобразований и замены переменной с целью выделения бесконечно малой; в частности, для некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции, указанные операции могут привести к 1-му замечательному пределу;

б) если в числителе и (или) в знаменателе функции у (х) многочлены, то: при х ® 0 оставить в каждом многочлене член с переменной х в минимальной степени; при х ® ∞ оставить в каждом многочлене член с переменной х в максимальной степени; при х ® х ₀ выделить в каждом многочлене множитель (х – х ₀), представляющий бесконечно малую величину;

в) в числителе и знаменателе функции использовать эквивалентные бесконечно малые;

г) если бесконечно малой является разность, содержащая корни, то следует эту разность умножить и разделить на такое выражение, которое с учетом формул сокращенного умножения позволит вывести бесконечную малую из иррациональности;

Ø для раскрытия неопределенностей вида (0 ·∞) и (∞ – ∞)можно, если удастся, непосредственно выполнить операции умножения и вычитания, или сначала преобразовать неопределенности к виду или , а затем использовать приемы а) – г);

Ø для раскрытия неопределенности вида (1^∞ ) нужно использовать 2-й замечательный предел (см. таблицу пределов) или формулу, получаемую как следствие этого предела: у (х) = u (x)^{β ( x )} = (1^∞ ) = exp[ (β (x)·(u (x) – 1))];

Ø для раскрытия неопределенности вида (0⁰) и (∞ ⁰) рекомендуется предварительно вычислить предел натурального логарифма функции ln у (х) = A, а затем воспользоваться равенством у (х) = e ^{ln y ( x )} = = е ^А.

Примечание: при вычислении пределов числовых последовательностей можно воспользоваться равенством: , если заменить п на непрерывную переменную х, а функцию u_n= u (n) на у (х).

17. Свойства пределов:

1) предел постоянной у (х) = С равен этой постоянной: = С.

2) = ± [для непрерывных в точке х ₀функций = у (х ₀) + и (х ₀)];

3) = · [для непрерывных в точке х ₀функций = у (х ₀) · и (х ₀)];

4) = [для непрерывной в точке х ₀ функции = C·у (х ₀)];

5) = [для непрерывных в точке х ₀функций = у (х ₀)/ и (х ₀), если и (х ₀)≠ 0];

6) = () ^m [для непрерывной в точке х ₀ функции = у^m (х ₀)];

7) = [для непрерывных в точке х ₀функций = у (х ₀) ^{u ( x 0)}].

18. Односторонние пределы: предел функции у = у (х), получаемый для любой сходящейся к х ₀ последовательности { x_n } при условии, что все x_n < x ₀, называется пределом слева (обозначение предела слева точки х ₀: = у (х ₀ – 0) = А); предел функции у = у (х), получаемый для любой сходящейся к х ₀ последовательности { x_n } при условии, что все x_n > x ₀, называется пределом справа (обозначение предела справа точки х ₀: = у (х ₀ + 0) = В).

19. Условие непрерывности функции у = у (х)в точке х = х ₀: у (х ₀ – 0) = у (х ₀ + 0) = у (х ₀).

20. Точка разрыва 1-го рода – точка х ₀, в которой правый и левый пределы функции y = y (х) конечны, но не равны друг другу, или, в случае их равенства, сама функция y = y (х) не определена в точке х ₀ или ее значение в этой точке у (х ₀) ¹ у (х ₀ – 0) = у (х ₀ + 0).

21. Точка разрыва 2-го рода – точка х ₀, в которой хотя бы один из односторонних пределов функции y = y (х) равен бесконечности (+ ¥ или – ¥) или не существует.

Пример решения задания №4