Справочный материал к заданию. 1. Производная функцииу = у(х) по переменной х в точке х0 – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у(х) к соответствующему

1. Производная функции у = у (х) по переменной х в точке х ₀ – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у (х) к соответствующему бесконечно малому изменению значения аргумента х этой функции в окрестности точки х = х ₀: у¢ (х ₀) = = = = . Значение производной у¢ (х ₀) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = у (х) при х = х ₀ относительно положительного направления координатной оси х. Если s (t) – зависимость перемещения материальной точки от времени, то s¢ (t) = = v (t) – мгновенная скорость этой материальной точки в момент времени t.

2. Дифференцируемость функции у = у (х): если в каждой точке х интервала (а; b) существует производная у ¢ (х), то функция у = у (х) называется дифференцируемой на этом интервале.

3. Правила дифференцирования – производная алгебраической суммы: (u ± v) ¢ = u¢ ± v¢ ; (u ± v ± w) ¢ = u¢ ± v¢ ± w¢ ; производная произведения: (u × v) ¢ = u¢ × v + u × v¢; (u × v × w) ¢ = u¢ × v × w + u× v¢ × w + u × v× w¢ ; производная дроби: (u / v) ¢ = (u¢ × v – u × v¢)/ v ².

4. Производная параметрически заданной функции x = x (t), y = y (t): y¢ (x) = y¢ (t) / x¢ (t).

5. Производная сложной функции: если y = u (v (w (x))), то = . Последовательность дифференцирования сложной функции обратна последовательности вычисления значения функции, в частности, на калькуляторе. Например, при вычислении значения функции у = sin²(ln(x ³+ )) в точке х алгебраические операции выполняются в следующей последовательности: куб х, квадратный корень из х, сумма куба и квадратного корня, логарифм суммы, синус логарифма, квадрат синуса, следовательно, нахождение производной у¢ (х) сводится к произведению производных, определяемых в последовательности: производная квадрата синуса, производная синуса логарифма, производная логарифма суммы, производная суммы, равная сумме производных куба х и квадратного корня из х, т.е. каждая следующая дифференцируемая функция является аргументом предыдущей.

Таблица производных основных элементарных функций

Вид функции	Формула функции	Производная функции
1) Постоянная	y = C для всех х Î	С¢ = 0
2) Линейная	y = х, х Î y = ах ± b, х Î	х¢ =1 R (ах ± b) ¢ = а
3) Степенная	y = х а, х > 0, а Î y = х – а, х > 0, а Î y = 1/ х, х ¹ 0 , х > 0 , х > 0, n Î \ {1}	(х а ) ¢ = аха – 1 R (х– а ) ¢ = –ах – а – 1 (1/ х) ¢ = –1/ x 2 () ¢ = 1/() () ¢ = 1/()
4) Показательная	y = а х, а > 0, а ¹ 1, х Î y =е х, х Î y =е – х, х Î	(а х ) ¢ = а х× ln аR (е х ) ¢ =е х (е – х) ¢ = – е – х
5) Показательно - степенная	y = u (х) v (х)	(uv) ¢ = (v× uv– 1)× u¢ + (uv × ln u)× v¢
6) Логарифмическая	y =log а х, а > 0, а ¹ 1, х > 0 y =ln х, х > 0	(log а х) ¢ = 1/(x × ln a) (ln х) ¢ =1/ х
7) Тригонометрическая	y =sin x х Î y =cos x х Î y = tg x х Î y = ctg x х Î	(sin x) ¢ = cos x (cos x) ¢ = – sin x (tg x) ¢ = 1/cos2 x (ctg x) ¢ = – 1/sin2 x
8) Обратная тригонометрическая	y =arc sin x –1 £ х £ 1 y = arc cos x –1 £ х £ 1 y = arc tg x х Î y = arc ctg x х Î	(arc sin x) ¢ = 1/ (arc cos x) ¢ = – 1/ (arc tg x) ¢ = 1/(1 + x 2) (arc ctg x) ¢ = – 1/(1 + x 2)
9) Гиперболическая	y =sh x х Î y =ch x х Î y = th x х Î y = cth x х ¹ 0	(sh x) ¢ = ch x (ch x) ¢ = sh x (th x) ¢ = 1/ch2 x (cth x) ¢ = – 1/sh2 x

7. Уравнение касательной к кривой у = у (х)в точке М (х ₀; у ₀), где y ₀ = y (x ₀): y = y ₀ + у' (х ₀)× (x – x ₀).

8. Уравнение нормали к кривой у = у (х)в точке М (х ₀; у ₀): y = y ₀ – × (x – x ₀).

9. Правило Лопиталя: = , где а – любое конечное число или ∞. Правило Лопиталя можно использовать только для неопределенностей вида и . Правило Лопиталя можно использовать многократно, если при его использовании снова возникает одна из указанных неопределенностей.

Пример решения задания №5