ЛЕКЦИЯ 5. 5.1 Определение векторного произведения

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

5.1 Определение векторного произведения

Векторным произведением двух векторов и называется третий вектор , обладающий свойствами:

1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и .

.

2. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

(5.1)

3. Векторы , , , в том порядке, как они записаны, образуют правую тройку векторов.

Обозначения:

.

5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов

Рассмотрим векторы: и . Векторное произведение этих векторов равно определителю третьего порядка, элементами первой строки которого являются единичные орты , элементами второй и третьей строк – координаты векторов и соответственно.

(5.2)

Запишем разложение определителя в формуле (5.2) по элементам первой строки:

Таким образом, координаты векторного произведения векторов и , т.е. вектора есть:

Т.е.

Из определения векторного произведения следует, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах

и , значит,

(5.3)

Равенство (5.3) является геометрическим смыслом векторного произведения.

5.3 Свойства векторного произведения

1.

2.

3.

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Это следует из определения векторного произведения.

5.4 Векторные произведения единичных орт

Рассмотрим векторы . Из определения векторного произведения следует, что:

(5.4)

Очевидны равенства:

(5.5)

Чтобы определить другие векторные произведения векторов , пользуются схемой:

Из схемы видно, что

5.5 Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

Исходя из определения скалярного и векторного произведения векторов, учитывая свойства и приложение этих операций, делаем выводы:

(5.6)

Т.е. скалярное перпендикулярных векторов равно нулю.

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. выполняются равенства:

(5.7)