Решение практических заданий. №1. Какую линию определяет уравнение ?

№1. Какую линию определяет уравнение ?

Решение.

Разделим данное уравнение почленно на 12: . Сравнивая полученное уравнение с уравнением , заключаем, что оно (а также исходное уравнение) определяет эллипс с полуосями Найдем фокусы этого эллипса. Из формулы следует, что . Поскольку в данном случае , то . Следовательно, фокусы эллипса находятся в точках .

№2. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид . Так как точки и лежат в эллипсе, то их координаты удовлетворяют его уравнению:

.

Решая полученную систему уравнений, находим, что .

Таким образом, получено следующее каноническое уравнение эллипса:

.

№3. Записать уравнение геометрического места точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек равна 10.

№4. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси симметрично относительно начала координат, если:

1) большая полуось равна 8, малая полуось равна 6;

2) расстояние между фокусами равно 10, большая ось равна 26;

3) большая ось равна 20, эксцентриситет равен 0, 6;

4) расстояние между фокусами равно 14, эксцентриситет равен 7/9.

№5. Какую линию определяет уравнение ?

Решение.

Разделим обе части данного уравнения на 36, получим .

Сравнивая это уравнение с уравнением , заключаем, что оно определяет гиперболу с действительной полуосью и мнимой полуосью .

№6. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением . Вычислить длины фокальных радиусов точки .

Решение.

Разделим обе части данного уравнения на 20, получим . Сравнивая это уравнение с уравнением , заключаем, что , то есть . Так как , то .

Поскольку точка лежит на левой ветви гиперболы, то при вычислении и необходимо пользоваться формулами :

Отметим, что .

№7. Доказать, что расстояние от любого фокуса гиперболы до любой ее асимптоты равно .

Решение.

Асимптоты данной гиперболы определяются уравнениями . Найдем расстояние от правого фокуса до асимптоты . Принимая во внимание, что , по формуле находим указанное расстояние:

.

Аналогично доказывается, что расстояние от фокуса до асимптоты и расстояние от фокуса до каждой из асимптот равно .

№8. Записать уравнение геометрического места точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух точек по абсолютной величине равна 8.

№9. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси симметрично относительно начала координат, если:

1) действительная ось равна 14, мнимая ось равна 10;

2) расстояние между фокусами равно 20, действительная ось равна 12;

3) действительная ось равна 6, эксцентриситет равен 5/3;

4) расстояние между фокусами равно 26, эксцентриситет равен 2, 6.

№10. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы . Вычислить расстояние от точки до фокуса.

Решение.

Сравнивая уравнение с уравнением , находим, что , откуда . В соответствии с формулой получаем уравнение директрисы параболы. Фокус параболы находится в точке . Точка лежит на параболе, так как ее координаты удовлетворяют уравнению . По формуле находим фокальный радиус точки : .

№11. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через точки

Решение.

Так как парабола симметрична относительно оси , то ее уравнение входит только во второй степени. Уравнение этой параболы имеет вид , где и - некоторые постоянные. Найдем и , использовав условие задачи. Поскольку точки и лежат на параболе, то их координаты должны удовлетворять ее уравнению:

.

Из уравнения находим .

Таким образом, данная парабола определяется уравнением или .

№12. записать каноническое уравнение параболы, если известно, что:

1) фокус находится в точке ;

2) фокус находится в точке ;

3) директриса имеет уравнение ;