Решение практических заданий. №1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку , нормальный вектор которой образует с осями прямоугольной декартовой системы координат углы .

№1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку , нормальный вектор которой образует с осями прямоугольной декартовой системы координат углы .

Решение.

Найдем сначала координаты нормального вектора плоскости. В качестве нормального вектора возьмем единичный вектор , тогда его координаты будут равны направляющим косинусам, то есть . В соответствии с формулой ,

получаем: или .

№2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

Решение.

Так как искомая плоскость проходит через точку , то ее уравнение можно представить в виде . Координаты нормального вектора этой плоскости определим из следующих условий:

1) искомая плоскость перпендикулярна плоскости ,

2) искомая плоскость проходит через точку .

Эти два условия приводят к уравнениям:

, .

Выражая из этих уравнений и через , находим: . Подставляя значения и в уравнение, получаем:

или .

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: .

№3. Две грани куба лежат соответственно на плоскостях , . Вычислить объем данного куба.

Решение.

Достаточно найти длину ребра куба, равную расстоянию между данными параллельными плоскостями. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости. Выберем на первой плоскости произвольную точку. Приняв, например, что из уравнения найдем .

Далее найдем расстояние от точки до плоскости :

.

Поскольку и , то куб.ед.

№4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно заданной плоскости, если: а) , ; б) , ; в) , .

№5. Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точку и ось абсцисс.

№6. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

№7. Найдите расстояние от точки до плоскости: а) ;

б) .

№8. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями: а) и ; б) и .

4. Подведение итогов занятия.

5. Постановка домашнего задания.