Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора

.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора

.

Главными минорами матрицы называются миноры, расположенные в ее верхнем левом углу, то есть пересечения первых (подряд) нескольких строк и первых нескольких столбцов матрицы.

Теорема 3.3.1. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой матрицы были положительными. (Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы).

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой матрицы четного порядка были положительными, а. главные миноры нечетного порядка были отрицательными (Критерий Сильвестра отрицательной определенности квадратичной формы).

З а д а ч и

Применив критерий Сильвестра, в задачах 225 – 228 исследуйте на знакоопреде-ленность каждую из данных квадратичных форм:

225. .

226. .

227. .

228. .

В задачах 229 – 233 установите, при каких значениях параметра данная форма является положительно определенной:

229. .

230. .

231. .

232. .

233. .

В задачах 234 – 236 установите, при каких значениях параметра данная форма является знакоопределенной:

234. .

235. .

236. .

В задачах 237 – 241 исследуйте на локальный экстремум каждую из данных функций:

237. .

238. .

239. .

240. .

241. .