Линейные функционалы и формы

Отображение линейного пространства в называется линейным функционалом, если для любых элементов из и

Пусть – линейный функционал на пространстве . Пусть – базис в . Пусть

Тогда матрица

называется матрицей-строкой линейного функционала в базисе

.

Однородный многочлен первой степени от неизвестных , то есть выражение вида

,

называется линейной формой.

Теорема 3.1.1 (о представлении линейного функционала линейной формой). Значение функционала на векторе равно произведению матрицы-строки функционала в данном базисе на столбец координат вектора в этом базисе:

Здесь - произведение матрицы-строки на матрицу-столбец, - трактуется как элемент этой матрицы.

Теорема 3.1.2 (о замене матрицы-строки линейного функционала при смене базиса). Пусть и - матрицы-строки линейного функционала в базисах и соответственно. Пусть - матрица перехода от базиса к базису . Тогда

З а д а ч и

В задачах 204 – 208 найдите матрицу-строку данного линейного функционала в данном базисе данного линейного пространства. Докажите линейность данных функционалов. Проверьте для данного функционала теорему о его представлении линейной формой.

204. , а) ; б) .

205. , а) ; б) .

206. , .

207. , а) ; б) .

208. , а) ; б) .

В задачах 209 – 212 найдите матрицу данного функционала в данном базисе непосредственно и с помощью теоремы о замене матрицы-строки при замене базиса, используя результаты задач 204 и 207.

209. , .

210. , .

211. , .

212. , .