Билинейные и квадратичные функционалы и формы, их матрицы

Отображение множества упорядоченных пар линейного пространства в называется билинейным функционалом, если для любых элементов из , и

;

.

Пусть – билинейный функционал на пространстве . Пусть – базис в . Пусть

.

Тогда матрица

называется матрицей билинейного функционала в базисе .

Однородный многочлен второй степени от неизвестных вида , называется билинейной формой.

Заметим, что

.

Теорема 3.2.1 (о представлении билинейного функционала билинейной формой). В любом базисе

Теорема 3.2.2 (о замене матрицы билинейного функционала при смене базиса). Пусть и - матрицы билинейного функционала в базисах и соответственно. Пусть - матрица перехода от базиса к базису . Тогда

Билинейный функционал называется симметричным, если для любых

.

Матрица симметричного функционала в любом базисе симметрична.

Пусть - симметричный билинейный функционал. Функционал, который каждому ставит в соответствие число

,

называется квадратичным функционалом.

Однородный многочлен второй степени от неизвестных , то есть функция вида , называется квадратичной формой.

Из теоремы 3.2.1 следует:

,

то есть квадратичный функционал в каждом базисе представлен квадратичной формой.

З а д а ч и

В задачах 213 – 215 найдите матрицу данного билинейного функционала в данном базисе данного линейного пространства. Докажите билинейность данных функционалов. Проверьте для данного функционала теорему о его представлении билинейной формой.

1. , а) ;

б) .

214. , а) ;

б) .

215. , а) ;

б)

В задачах 216 – 221 запишите данные квадратичные формы в матричном виде; найдите их ранг:

216. .

217. .

218. .

219. .

220. .

221. .

В задачах 222 – 224 запишите данные квадратичные формы в явном и матричном виде:

222.

223.

224.