Сопряженные преобразования (операторы) и их матрицы

Оператор , определенный на евклидовом пространстве , называется сопряженным к линейному оператору , если для любых

Сопряженный оператор существует, единственен и линеен.

Теорема 2.6.1. Пусть и – матрицы линейных операторов соответственно и в ортонормированном базисе. Тогда

Оператор , определенный на евклидовом пространстве , называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным:

Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе симметрична, то есть совпадает со своей транспонированной.

Теорема 2.6.2 .Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Теорема 2.6.3. Характеристические числа симметричной матрицы действительны. Множество собственных чисел самосопряженного оператора совпадает с множеством характеристических чисел его матрицы в любом базисе.

Теорема 2.6.4. Для любого самосопряженного оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис этого пространства из собственных векторов этого оператора.

З а д а ч и

В задачах 185 – 188 матрица линейного оператора в в данном базисе имеет вид . Найдите матрицу сопряженного оператора в том же базисе.

184. , .

185. , .

186. ,

187. ,

В задачах 189, 190 линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе.

188. , (матрица )

189. ,

190. Пусть – проецирование пространства на прямую параллельно прямой, заданной уравнением в стандартном базисе в Найдите оператор

191. Пусть – проецирование пространства на прямую параллельно прямой, заданной уравнением в стандартном базисе в . Найдите оператор .

192. Пусть – проецирование пространства на прямую параллельно прямой, заданной уравнением в стандартном базисе в . Найдите оператор .

193. Пусть – проецирование пространства на прямую параллельно прямой, заданной уравнением в стандартном базисе в . Найдите оператор .

В задачах 195 – 200 задан самосопряженный оператор своей матрицей в стандартном базисе . Найдите ортонормированный базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного оператора.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200. Является ли самосопряженным оператор симметрии в относительно прямой: а) ; б) ; в) ; г) ?

201. Найдите оператор, сопряженный в оператору ортогонального проецирования: а) на прямую ; б) на прямую .

1. Найдите оператор, сопряженный в оператору проецирования:

а) на прямую ; б) на прямую .