Линейные отображения (операторы) и их матрицы

Отображение линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением (линейным оператором), если для любых элементов из и

Множество всех элементов линейного пространства , таких что , называется ядром линейного оператора и обозначается .

Ядро линейного оператора является подпространством линейного пространства .

Множество всех элементов линейного пространства , которые являются образами элементов пространства при отображении , называется образом линейного оператора и обозначается

Образ линейного оператора является подпространством линейного пространства .

Теорема 2.1.1. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равно размерности линейного пространства :

Пусть – линейный оператор (линейное преобразование) пространства в себя. Пусть – базис в . Пусть

Тогда матрица

называется матрицей линейного оператора в базисе .

Теорема 2.1.2. Столбец из координат вектора в данном базисе равен произведению матрицы линейного оператора в этом базисе на столбец координат вектора в том же базисе:

Теорема 2.1.3. Пусть линейный оператор переводит векторы -мерного линейного пространства в векторы соответственно,

,

причем векторы линейно независимы. Пусть и - матрицы, столбцами которых являются координаты, соответственно, векторов и в некотором базисе. Тогда матрица линейного оператора в этом базисе может быть найдена по формуле:

.

Более подробно теоретические вопросы можно изучить по учебникам и учебным пособиям [2, 4, 8, 9]. Задачи и упражнения можно найти в [1, 3, 5–7, 10, 11].

З а д а ч и

В задачах 107 – 115 найдите матрицу линейного оператора в данном базисе.

104. Поворот плоскости на угол в стандартном базисе в .

105. Поворот трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной системой уравнений в стандартном базисе в .

106. Ортогональное проецирование трехмерного пространства на координатную ось в стандартном базисе в .

107. Ортогональное проецирование трехмерного пространства на координатную плоскость в стандартном базисе в .

108. Ортогональное проецирование трехмерного пространства на прямую, заданную системой уравнений в стандартном базисе в .

109. Ортогональное проецирование двумерного пространства на прямую, заданную уравнением в стандартном базисе в .

110. В пространстве найдите матрицу линейного оператора

, , и докажите, что этот оператор – линейный.

111. В пространстве найдите матрицу линейного оператора

, , и докажите, что этот оператор – линейный.

112. В пространстве найдите матрицу линейного оператора

, , и докажите, что этот оператор – линейный.

В задачах 116 – 121 найдите в стандартном базисе в (или ) матрицу линейного оператора, переводящего данные векторы (или ) соответственно в векторы (или ).

113. ; ;

114. , ,

115.

116.

117. Линейный оператор в базисе , имеет матрицу . Линейный оператор в базисе , имеет матрицу . Найдите матрицу линейного оператора : в базисе .

118. Линейный оператор в базисе , имеет матрицу . Линейный оператор в базисе , имеет матрицу . Найдите матрицы линейных операторов в стандартном базисе.