Смена базиса

Пусть даны два базиса одного линейного пространства:

, .

Разложим векторы второго базиса по первому и коэффициенты из каждой строки разложения запишем в виде столбца в матрицу. Полученная матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. В матричной форме указанное разложение можно записать в виде = .

Пусть – столбец из коэффициентов разложения (координат) вектора x по первому базису, а – по второму.

Теорема 1.3.1. Квадратная матрица является матрицей перехода тогда и только тогда, когда она невырожденная.Связь между координатами разложения вектора по первому и второму базисам устанавливается формулой

Следствие. .

Теорема 1.3.2. Если – матрица перехода от базиса к базису , а – от базиса к базису , то матрица перехода от базиса (e) к базису имеет вид . Матрица перехода от базиса к базису имеет вид P^-1.

Следствие. Если – матрица перехода от базиса к базису , а – от базиса к базису , то матрица перехода от базиса к базису имеет вид .

З а д а ч и

43. Для каждой перестановки базисных элементов трехмерного пространства найдите матрицу перехода.

44. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса к базису .

45. В пространстве найдите матрицы перехода от базиса к базису , и обратно.

46. В пространстве найдите матрицы перехода от базиса к базису и обратно.

47. В пространстве функций, порожденном функциями , найдите матрицу перехода от этого базиса к базису , и обратно.

48. В пространстве функций, порожденном функциями , найдите матрицу перехода от этого базиса к базису , и обратно.

В задачах 49, 50 по координатам вектора в базисе найдите его координаты в базисе :

49.

В задачах 51 – 53 по координатам вектора в базисе найдите его координаты в базисе :

В задачах 54, 55 найдите матрицу перехода от базиса (a) к базису (c), если:

В задачах 56 – 59 найдите матрицу перехода от базиса к базису по указанным разложениям этих векторов в базисе :