Евклидовы пространства. Скалярное произведение и норма

Скалярным умножением векторов, определенном на линейном пространстве , называется отображение, которое каждой упорядоченной паре векторов ставит в соответствие действительное число (a, b) так, что для любых векторов и любого действительного числа выполняются аксиомы:

1. – коммутативность скалярного умножения;

2. – аддитивность скалярного умножения;

3. – однородность скалярного умножения;

4. – неотрицательность скалярного умножения;

5. – определенность скалярного умножения.

Результат этой операции называется скалярным произведением.

Линейное пространство, на котором задано скалярное умножение векторов, называется евклидовым пространством.

Нормой вектора в линейном пространстве называется отображение, которое каждому вектору ставит в соответствие действительное число так, что для любых векторов и любого действительного числа выполняются аксиомы:

1. – неравенство треугольника для нормы;

2. – однородность нормы;

3. – неотрицательность нормы;

4. – определенность нормы.

Теорема 1.4.1. Отображение, которое каждому вектору евклидова пространства ставит в соответствие число , удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Нормой вектора в евклидовом пространстве называется отображение, которое каждому вектору ставит в соответствие действительное число = .

Теорема 1.4.2. Неравенство Коши – Буняковского – Шварца (КБШ): для любых векторов и евклидова пространства

,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.

Косинусом угла между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число

.

Расстоянием (метрикой) между векторами и линейного пространства с нормой называется число .

Теорема 1.4.3. Для , операция

является скалярным произведением в . Неравенство КБШ в этом случае имеет вид:

.

Следствие. Линейное пространство с указанным в теореме 1.4.3 скалярным произведением является евклидовым пространством.

Будем обозначать это пространство .

З а д а ч и

В евклидовом пространстве интегрируемых функций на отрезке со скалярным произведением найдите норму элемента .

60. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи ортогональны функции и ?

61. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи расстояние между функциями и минимально?

62. В евклидовом пространстве интегрируемых функций на отрезке со скалярным произведением найдите норму элемента .

63. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи ортогональны функции и ?

64. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи расстояние между функциями и минимально?

65. В евклидовом пространстве интегрируемых функций на отрезке со скалярным произведением найдите норму элемента .

66. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи ортогональны функции и ?

67. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи расстояние между функциями и минимально?

68. В евклидовом пространстве интегрируемых функций на отрезке со скалярным произведением найдите норму элемента .

69. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи ортогональны функции и ?

70. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи расстояние между функциями и минимально?

71. В евклидовом пространстве интегрируемых функций на отрезке со скалярным произведением найдите норму элемента .

72. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи ортогональны функции и ?

73. При каком значении параметра в евклидовом пространстве предыдущей задачи расстояние между функциями и минимально?

В задачах 75 – 82 установите, при каком значении параметра расстояние между функциями и достигает наименьшего значения. Считайте, что скалярное произведение задано формулой

74. , .

75. , .

76. , .

77. , .

78. , .

79. , .

80. , .

В задачах 83 – 87 докажите неравенства:

81. Если то

82. Если то

83. Если то

84. Если то .Для любых выполнено .