Ортогональные семейства векторов. Ортогонализация

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Нормированием ненулевоговектора называется деление этого вектора на его норму. Норма нормированного вектора равна единице. Семейство векторов называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны. Семейство векторов называется ортонормированным, если его векторы имеют единичную норму и попарно ортогональны.

Ортогональное семейство векторов линейно независимо.

Теорема 1.5.1. Линейно независимое семейство векторов евклидова пространства всегда можно ортогонализовать (и ортонормировать), т. е. заменить это семейство на ортогональное (ортонормированное) семейство векторов, порождающее то же подпространство.

Метод ортогонализации по Граму – Шмидту заключается в следующем. Пусть – семейство линейно независимых векторов. Тогда семейство векторов

где

,

линейно независимо, ортогонально, и .

З а д а ч и

85. Докажите, что семейства функций:

а) ;

б) ,

образуют ортогональные семейства векторов в пространстве со скалярным произведением

1. Докажите, что семейство функций

образует ортогональное семейство векторов в пространстве со скалярным произведением

87. Даны векторы образующие ортогональный базис. Найдите и если:

а)

б)

в)

88. Даны векторы , образующие ортонормированный базис. Найдите и если:

а)

б)

в)

89. Даны векторы образующие ортогональный базис. Найти косинус угла между векторами и , если:

а)

б)

в)

г)

90. Даны векторы образующие ортонормированный базис. Найдите косинус угла между векторами и , если:

а)

б)

в)

91. В евклидовом пространстве по данному семейству линейно независимых векторов постройте ортонормированное семейство, порождающее то же подпространство:

а)

б)

92. В евклидовом пространстве по данному семейству линейно независимых векторов постройте ортонормированное семейство, порождающее то же подпространство:

93. В данном функциональном евклидовом пространстве с операцией скалярного умножения по данному семейству линейно независимых векторов постройте ортонормированное семейство, порождающее то же подпространство: а) ; б)

94. В данном функциональном евклидовом пространстве с операцией скалярного умножения по данному семейству линейно независимых векторов постройте ортонормированное семейство, порождающее то же подпространство:

95. В данном функциональном евклидовом пространстве с операцией скалярного умножения по данному семейству линейно независимых векторов постройте ортонормированное семейство, порождающее то же подпространство: а) ; б) .

В задачах 97 – 99 проверьте, что следующие семейства векторов пространства попарно ортогональны, и дополните их до ортогональных базисов:

96.

97.

98.