Линейные пространства. Подпространства линейных пространств

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Линейные пространства. Подпространства линейных пространств

Линейным пространством над множеством действительных чисел называется любое непустое множество, на котором определены: двуместная операция (обычно она называется сложением) и, для каждого действительного числа, одноместная операция (операция умножения на это действительное число), причем выполняются для любых элементов и любых действительных чисел следующие условия (аксиомы).

1. – ассоциативный закон сложения.

2. – существование нулевого элемента.

3. – существование для каждого элемента противо- положного элемента; он обозначается .

4. – коммутативный закон сложения.

5. .

6. .

7. .

8. .

Элементы линейного пространства будем называть векторами.

Подмножество L₁ называется подпространством линейного пространства L, если вместе с любыми двумя его векторами и векторы и , где – любое действительное число, также принадлежат этому подмножеству L₁ пространства L. Теоретико-множественное пересечение любого множества подпространств также является подпространством. Теоретико-множественное объединение подпространств не является подпространством, если одно из них не является подпространством другого. Пусть М – произвольное подмножество векторов пространства L. Множество всех линейных комбинаций векторов из М образует подпространство в L и называется подпространством, порожденным множеством М. Оно обозначается .

Теорема 1.1.1. Подпространство совпадает с пересечением всех подпространств, содержащих множество .

Подпространство, порожденное подпространствами L₁ и L₂, называется суммой подпространств и обозначается L₁ + L₂.

Множество упорядоченных наборов из n действительных чисел с операциями поэлементного сложения и умножения на число называется арифметическим векторным пространством и обозначается Rⁿ .

Множество матриц размера относительно операций сложения и умножения на число образует линейное пространство и обозначается M_{m, n} (m – количество строк в матрицах, n – количество столбцов). В частности, совпадают пространства Rⁿ и M_{1, n}.

Множество отображений (функций), определенных на множестве со значениями в , образует относительно операций сложения и умножения на число линейное пространство и обозначается . В частности, – линейное пространство функций, определенных на интервале . Множество многочленов (полиномов) степени не выше n от независимой переменной x образует линейное пространство и обозначается P_n(x).

Более подробно теоретические вопросы можно изучить по учебникам и учебным пособиям [2, 4, 8, 9]. Задачи и упражнения можно найти в [1, 3, 5–7, 10, 11].

З а д а ч и

1. Образует ли линейное пространство множество всех матриц одинакового размера, у которых

а) все элементы первой строки равны нулю;

б) все элементы первой строки равны единице;

в) первый столбец совпадает со вторым;

г) в правом нижнем углу стоит нуль;

д) все элементы – целые числа, делящиеся на 3;

е) все числа одинаковы?

2. Образует ли линейное пространство множество всех функций, заданных на числовой прямой, относительно операций сложения функций и умножения функций на число, у которых

а) значения в единице равны нулю;

б) значения в нуле равны единице;

в) все значения неотрицательны;

г) в точке нуль нестрогий экстремум?

3. Образует ли линейное пространство множество всех функций, заданных на числовой прямой, относительно операций сложения функций и умножения функций на число, с условием:

а) все функции ограничены;

б) все функции ограничены одним числом;

в) у всех функций существует производная в любой точке;

г) все функции являются производными от каких-то функций?

4. Образует ли линейное пространство множество многочленов (полиномов), у которых

а) (старшие) степени равны 10;

б) (старшие) степени меньше 10;

в) (старшие) степени больше 10;

г) (старшие) степени меньше или равны 10;

д) свободные члены равны нулю;

е) число 2011 является корнем;

ж) нет действительных корней?

5. Образует ли линейное пространство множество положительных действительных чисел, на которых в качестве операции «сложения» берется умножение, а в качестве операции «умножения на число» – возведение в степень с этим показателем?

В задачах 6 – 9 найдите ненулевой вектор, который принадлежит пересечению данных подпространств , где R₃.

6.

7.

8.

9.

В задачах 10 – 13 найдите ненулевой вектор, который принадлежит пересечению данных подпространств , где R₄.

10.

11.

12.

13.

В задачах 14 – 17 покажите, что , где .

14.

15.

16.

17.

В задачах 18 – 21 покажите, что , где .

18.

.

19.

.

20.

.

21.