Взаимные (биортогональные) базисы. Матрица Грама

Базис () называется взаимным с базисом (), где

, ,

если , где – символ Кронекера:

Теорема 1.6.1. Для каждого базиса в евклидовом пространстве существует единственный взаимный.

Матрицей Грама для семейства векторов называется матрица

, , .

Матрица Грама симметрична.

Теорема 1.6.2. Матрица Грама для семейства векторов не вырождена тогда и только тогда, когда это семейство линейно независимо.

Следовательно, матрицей Грама для базиса () является матрица

, .

Пусть – матрица Грама для взаимного базиса, т. е.

.

Имеет место теорема.

Теорема 1.6.3. Матрицы и взаимно обратны. Взаимные базисы связаны друг с другом соотношениями:

.

Здесь по повторяющемуся индексу производится суммирование от до .

З а д а ч и

В задачах 100 – 104 по данному базису в найдите взаимный:

99.

100.

101.

102.

103.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ