Базис и размерность линейного пространства

Семейство (упорядоченное множество) векторов называется полным, если любой вектор пространства равен линейной комбинации некоторых векторов этого семейства. Линейное пространство называется конечномерным, если обладает конечным полным семейством векторов.

Полное семейство линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства. Разложить вектор по базису – значит, представить его в виде линейной комбинации базисных элементов. Линейная независимость векторов базиса обеспечивает единственность разложения по базису любого вектора пространства.

Теорема 1.2.1. Во всех базисах конечномерного линейного пространства одинаковое количество элементов.

Количество элементов в базисе называется размерностью линейного пространства. Размерность линейного пространства, состоящего только из нулевого элемента, объявляется равной нулю.

Теорема 1.2.2. Критерий базиса n-мерного линейного пространства: конечное семейство векторов является базисом тогда и только тогда, когда

· оно содержит ровно n элементов;

· его вектора линейно независимы.

Теорема 1.2.3. Критерий базиса в Rⁿ: конечное семейство векторов линейного пространства Rⁿ является базисом тогда и только тогда, когда:

· оно содержит ровно n элементов;

· матрица, образованная его элементами как столбцами, невырожденная.

З а д а ч и

22. Выясните, является ли линейно-независимой каждая из систем векторов в пространстве :

а) 2, ;

б)

в)

г)

д)

23. Выясните, является ли линейно-независимой каждая из систем векторов в пространстве

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

24. Установите, какие семейства векторов образуют базис

а)

б)

25. Образуют ли базис данные семейства матриц ?

а)

б)

26. Найдите размерность и укажите какой-нибудь базис пространств , а также векторного пространства на плоскости.

В задачах 27 – 30 найдите размерность и базис линейных пространств решений матричных уравнений вида , где матрица имеет вид:

27. .

28. .

29. .

30. .

В задачах 31 – 34 найдите размерность общего решения (пространства всех решений) и базис общего решения (фундаментальную систему решений) системы линейных однородных уравнений:

31.

32.

33.

34.

В задачах 35 – 38 покажите, что данное семейство векторов образует базис, и найдите координаты вектора в этом базисе:

35.

36.

37.

38.

39. Докажите линейную независимость семейства функций , где – попарно различные действительные числа.

40. Докажите линейную независимость семейства функций , где – попарно различные действительные числа.

41. Докажите линейную независимость семейств функций:

а) ;

б) ;

в) .

42. Пусть – множество многочленов из , имеющих корни . Покажите, что – подпространство простран-ства . Найдите его размерность и какой-нибудь базис.