Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Действительное число и ненулевой вектор называются соответственно собственным числом (значением) и собственным вектором линейного оператора , действующего на , если

.

Множество собственных векторов, соответствующих одному собственному числу, образует, вместе с нулем пространства , подпространство пространства .

Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

Каждому собственному вектору соответствует ровно одно собственное число.

Многочлен относительно переменной вида , где – квадратная матрица, - единичная матрица того же порядка, называется характеристическим многочленом (полиномом) матрицы .

Нули этого многочлена, то есть корни уравнения , называются характеристическими числами матрицы .

Теорема 2.3.1. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают. В частности, характеристические многочлены различных матриц, соответствующих одному и тому же линейному оператору, совпадают.

Пусть – матрица линейного оператора в некотором базисе.

Теорема 2.3.2. Действительные характеристические числа матрицы и только они являются собственными числами линейного оператора .

Теорема 2.3.3 (Гамильтон, Кели). Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена.

З а д а ч и

129. Докажите, что характеристические числа матрицы являются обратными к характеристическим числам матрицы

130. Докажите, что характеристические числа матрицы являются квадратами характеристических чисел матрицы

131. Докажите, что собственные числа оператора являются обратными к собственным числам оператора .

132. Докажите, что собственные числа оператора являются квадратами собственных чисел оператора .

133. Проверьте теорему Гамильтона – Кели для матриц:

В задачах 135– 149 найдите собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149. B пространстве, порожденном функциями , найдите характеристический многочлен оператора дифференцирования, какое-нибудь ненулевое собственное число и соответствующий собственный вектор.

150. В пространстве, порожденном функциями , найдите характеристический многочлен оператора дифференцирования, какое-нибудь ненулевое собственное число и соответствующий собственный вектор.

151. B пространстве, порожденном функциями , найдите характеристический многочлен оператора дифференцирования, какое-нибудь ненулевое собственное число и соответствующий собственный вектор.

152. В пространстве, порожденном функциями , найдите характеристический многочлен оператора дифференцирования, какое-нибудь ненулевое собственное число и соответствующий собственный вектор.

153. В пространстве найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора , его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.

154. B пространстве найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора , его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.