Ортогональные преобразования (операторы) и ортогональные матрицы

Квадратная матрица называется ортогональной, если , где – матрица, полученная из транспонированием.

Теорема 2.5.1. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

· ;

· ;

· Строки матрицы (трактуемые как элементы евклидова пространства, записанные в стандартном базисе) образуют ортонормированное семейство векторов;

· Столбцы матрицы (трактуемые как элементы евклидова пространства, записанные в стандартном базисе) образуют ортонормированное семейство векторов.

Если матрица ортогональна, то ортогональны матрицы и ; кроме того, .

Линейный оператор , определенный на евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение:

.

Теорема 2.5.2 Ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный; если линейный оператор переводит какой-то ортонормированный базис в ортонормированный, то он ортогональный.

Теорема 2.5.3. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе ортогональна; если матрица линейного оператора в каком-то ортонормированном базисе ортогональна, то этот оператор ортогональный.

Теорема 2.5.4. Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда он сохраняет норму ():

.

З а д а ч и

176. Выясните, являются ли ортогональными операторами следующие отображения пространства :

а) Симметрия относительно оси ;

б) Поворот на угол вокруг начала координат;

в) Композиция поворота на угол вокруг начала координат и симметрии относительно оси ;

г) Композиция симметрии относительно прямой, заданной уравнением , и поворота на угол ;

д) Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом (рассмотрите различные случаи);

е) Проекция на прямую, заданную уравнением .

177. Выясните, являются ли ортогональными операторами следующие отображения пространства :

а) Симметрия относительно оси ;

б) Симметрия относительно плоскости ;

в) Поворот на угол вокруг оси (в любом направлении);

г) Поворот на угол вокруг прямой, заданной системой уравнений в стандартном базисе (в любом направлении);

д) Симметрия относительно начала координат;

е) Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом (рассмотрите различные случаи);

ж) Проекция на прямую, заданную уравнением ;

з) Проекция на плоскость, заданную уравнением ;

и) Композиция поворота на угол вокруг оси и гомотетии с коэффициентом с центром в начале координат;

к) Композиция поворота на угол вокруг оси и гомотетии с коэффициентом с центром в начале координат.

В задачах 179 – 184 найдите ортогональные матрицы, приводящие данные симметричные матрицы к диагональному виду, и эти диагональные матрицы.