Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Теорема 3.4.1. Пусть – матрица квадратичного функционала в базисе , а – матрица этого же функционала в базисе . Пусть – матрица перехода от базиса к базису . Тогда

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если в ее матрице все элементы при . Привести квадратичную форму к каноническому виду – значит, найти каноническую квадратичную форму, представляющую тот же квадратичный функционал. Матрица перехода к соответствующему базису называется матрицей, приводящей к каноническому виду.

Теорема 3.4.2 (следствие теорем 2.6.3 и 3.4.1). Каждую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с коэффициентами, совпадающими с характеристическими числами ее матрицы:

.

Базис для канонической формы состоит из собственных векторов матрицы данной формы (разложения нормированных собственных векторов по исходному базису образуют столбцы матрицы перехода).

З а д а ч и

Найдите в задачах 242 – 248 ортогональную матрицу, приводящую квадратичную форму к каноническому виду, и запишите канонический вид:

242.

243. .

244. .

245. .

246. .

247. .

248. .

В задачах 249 – 252 найдите методом Лагранжа нормальный вид каждой квадратичной формы и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду:

249. .

250. .

251. .

252. .