Классификация кривых второго порядка

Множество точек, определяемое в декартовой системе координат на плоскости уравнением

,

называется кривой второго порядка. Квадратичной формой этой кривой называется форма

.

Пусть – определитель матрицы этой формы. По определению, если , то кривая имеет эллиптических тип, если , то кривая имеет гиперболический тип, если , кривая имеет параболический тип.

В первом случае характеристические числа матрицы квадратичной формы имеют одинаковый знак, во втором – разные знаки, в третьем – одно из чисел равно нулю.

Каждую кривую второго порядка можно с помощью линейного ортогонального преобразования независимых переменных привести одному из следующих канонических видов:

Кривые эллиптического вида:

1. (эллипс);

2. (точка);

3. (пустое множество – мнимый эллипс);

Кривые гиперболического вида:

4. (гипербола);

5. (пара пересекающихся прямых);

Кривые параболического вида:

6. (парабола);

7. (пара параллельных прямых);

8. (прямая – пара совпавших прямых);

9. (пустое множество).

З а д а ч и

В задачах 253 – 265 приведите к каноническому виду данное уравнение и изобразите в ортогональной декартовой системе координат линию, определяемую этим уравнением:

253. .

254.

255.

256.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264.

265.