Глава 1. Внутренние симметрии адронов.

Состояние и свойства адронов характеризуются значениями различных физических величин и квантовых чисел, сохранение которых отвечает наличию у адронов определенных симметрий – внешних, связанных со свойствами времени и пространства, в котором они находятся, и внутренних, связанных с их составной структурой. При этом обязательно возникают величины, не имеющие физического смысла (их нельзя измерить).

Так например, для квантовой системы, состоящей из тождественных частиц, осуществляются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух тождественных частиц (внутренняя симметрия системы тождественных частиц). При этом волновая функция системы тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином) меняет знак при такой перестановке, а волновая функция системы тождественных бозонов (частиц с целым спином) не изменяется. Сам знак волновой функции системы тождественных частиц является величиной ненаблюдаемой.

У свободного адрона сохраняется энергия, импульс и момент импульса. При этом для него невозможно ввести понятия абсолютного времени, абсолютной координаты и выделенного направления в пространстве, а законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с наличием у адрона внешних симметрий и отражают неизменность его свойств соответственно при сдвижке во времени (симметрия, связанная с однородностью по времени), при смещении вдоль некоторой оси в пространстве (симметрия, связанная с однородностью пространства) и при вращении вокруг некоторой оси в пространстве (симметрия, связанная с изотропией пространства). Энергия, импульс и момент импульса сохраняются также в любых процессах взаимодействия адронов, а соответствующие законы сохранения отражают симметрию этих взаимодействий. Если добавить сюда еще изотропию пространства-времени (равноправие всех инерциальных систем отсчета), то возникнет инвариантность свойств адронов и их взаимодействий относительно вращений в четырехмерном пространстве-времени (пространстве Миньковского) – релятивистская инвариантность физических законов и соответствующих им уравнений, описывающих состояние адронов.

Кроме того, со свойствами пространства и времени связан закон сохранения четности в СВ и ЭМВ, отражающий неизменность свойств таких взаимодействий адронов при замене х ®- х (отражение координат), а также принцип детального равновесия (совпадение вероятности прямого и обратного процесса для взаимодействующих адронов), возникающий при замене t®-t (отражение времени).

С внутренними симметриями у адронов связано существование различных квантовых чисел (обобщенных зарядов), сохраняющихся в СВ. Этим сохраняющимся зарядам отвечают операторы Q_i, коммутирующие с гамильтонианом СВ

(1.1)

Наличие внутренних симметрий позволяет выразить амплитуды слабых и электромагнитных процессов, в которых участвуют адроны (для переданных импульсов ), через матричные элементы обобщенных зарядов Q_i, величина которых не зависит от деталей внутреннего устройства адронов. На этом основано большинство результатов в теории ЭМВ и СлВ адронов.

Существование внутренних симметрий позволяет получить для адронов и в теории СВ значительное количество результатов, которые также не зависят от моделей их устройства. К этим результатам надо отнести, прежде всего, классификацию адронных состояний в группы со сходными свойствами (мультиплеты) и предсказание числа состояний в каждой группе, затем соотношения между массами частиц и их магнитными моментами внутри каждой группы состояний, соотношения между константами взаимодействия в распадах резонансов за счет СВ, соотношения между сечениями различных процессов СВ. Все эти предсказания теории внутренних симметрий адронов могут быть проверены на опыте, и согласие многих из них с опытом служит основой для понимания свойств обширного мира адронных состояний.

Таким образом, в теории адронов основную роль играют внутренние симметрии. Для их описания используется математический аппарат теории групп.

Совокупность элементов преобразования образует группу, если выполняются следующие условия (групповые аксиомы):

1) определен закон умножения, который каждой паре элементов и из множества {g} ставит в соответствие третий элемент из того же множества: ;

2) выполняется свойство ассоциативности умножения элементов: ;

3) существует единичный элемент ;

4) для любого элемента g из множества {g} существует обратный элемент .

Отметим, что умножение элементов в группе не обязательно коммутативно . Если для любых элементов группы, то группа называется абелевой.

Группы бывают двух типов - дискретные с конечным или бесконечным числом элементов (в этом случае все элементы группы можно перенумеровать натуральным рядом чисел) и непрерывные, или так называемые параметрические. В последнем случае преобразования задаются вещественными параметрами, то есть каждый элемент группы зависит от n вещественных параметров , которые принимают любые значения в некоторой области, причем соответствие между данным набором параметров и элементами группы взаимно однозначное. Число параметров непрерывной группы называют порядком группы.

Предполагается, что в параметрической группе имеется топологическая структура, т.е. определено понятие близких преобразований: близко к g. Предполагается также, что параметризация группы производится так, что близким элементам g соответствуют близкие параметры . При этом параметры принято выбирать таким образом, чтобы g(0,..., 0)= e =1.

Свойства групп, описывающих внутренние симметрии адронов, похожи на свойства группы вращений трехмерного действительного пространства. Рассмотрим ее геометрическую интерпретацию.

Положение точки в трехмерном действительном пространстве определяется с помощью радиус-вектора который в теории групп удобно задавать в матричной форме в виде трехкомпонентного спинора

, (1.2)

составленного из проекций радиус-вектора на взаимно ортогональные оси , проведенные через начало координат О, или в виде эрмитово сопряженного, совпадающего в этом случае с транспонированным, спинора . Здесь нижние индексы обозначают номер строки, верхние – номер столбца в спиноре и .

Любое вращение трехмерного действительного пространства вокруг фиксированной точки О (начала координат) всегда можно представить в виде произведения трех последовательных вращений, задаваемых с помощью матриц поворота

(1.3)

вокруг взаимно ортогональных осей соответственно на углы . Здесь углы вращения представляют параметры группы вращений и использованы обозначения . При этом спинор (1.2) преобразуется по закону [1]

(1.4)

где - матрица поворота вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О, а совпадает с транспонированной матрицей. Чтобы получить матрицу в явном виде, надо перемножить в определенном порядке матрицы (1.3). Так, при вращении пространства сначала вокруг оси на угол (матрица ), затем - вокруг нового положения оси на угол (матрица ) и наконец - вокруг нового положения оси на угол (матрица ) матрица поворота приобретает вид:

(1.5)

Порядок матрицы преобразования (элемента группы) g совпадает с размерностью пространства, в котором непрерывная группа действует, и определяет размерность группы. Размерность группы трехмерных вращений согласно (1.5) равна трем, ее порядок также равен трем.

Заметим, что при вращении пространства длина радиус-вектора не изменяется, то есть преобразования (1.4) оставляют инвариантной форму . Поэтому , и для любого элемента группы вращений должно выполняться соотношение

(1.6)

Это означает, что преобразование (1.4) осуществляется ортогональными матрицами, а обратный элемент совпадает с транспонированной по отношению к матрицей

(1.7)

Кроме того, так как , то из (1.6) следует, что .

Матрицы (1.3), (1.5), используемые в преобразовании (1.4), имеют единичный определитель

(1.8)

Такие матрицы называют унимодулярными, а осуществляемые ими преобразования – собственными.

Группа действительных ортогональных (индекс О), унимодулярных матриц, осуществляющих собственные вращения (индекс S) в трехмерном эвклидовом пространстве (индекс 3) обозначается SO(3).