Глава 4. Изотопические мультиплеты адронов и их волновые функции

Как следует из опыта, на феноменологическом уровне СВ адронов с высокой степенью точности (~1%) инвариантны относительно группы изотопических преобразований SU(2).

На решение изотопической инвариантности обусловлено наличием у адронов составной структуры и характером взаимодействия на фундаментальном уровне составляющих их частиц-кварков.

Если таким нарушением пренебречь, то во всех обусловленных СВ процессах квантовые числа Т и будут точно сохраняться, так как гамильтониан СВ в этом случае коммутирует с любой проекцией изоспина (см. (2.27)), а сами адроны сгруппируются в изотопические мультиплеты.

Каждому адрону, входящему в изомультиплет, удобно при этом сопоставить соответствующую ему базисную функцию из этого мультиплета. Тогда волновые функции отдельных адронов преобразуются по неприводимым представлениям группы SU(2), то есть являются прямым произведением обычной волновой функции, зависящей от пространственных координат и проекций спина, на изотопическую функцию

(4.1)

Будем в дальнейшем обозначать волновую функцию каждого конкретного адрона просто символом частицы. Так например, для протона р, который входит с проекцией изоспина в нуклонный дублет волновая функция имеет вид

,

где и .

После этого все адроны оказываются размещенными по изотопическим мультиплетам, каждый из которых характеризуется в целом величиной изотопического спина (см. (3.18)), а отдельным входящим в него адронам сопоставляются проекции изоспина (см. (3.19)). Кроме того, в каждом изомультиплете очевидно должно иметь вырождение по массе всех входящих в него частиц.

Заметим, что в процессах СВ по-разному ведут себя не только адроны с разными значениями Т, но и адроны, различающиеся другими квантовыми числами, также сохраняющимися в СВ: спином J, четностью Р, барионным числом В, странностью S, очарованием С, боттомом b, топом t и гиперзарядом Y. Поэтому у адронов, входящих в один изомультиплет, все эти квантовые числа должны совпадать известные соотношения Y=B+S+C+b+t (см. (В.1)) и (см.(В.2)), из которых следует, что гиперзараяд Y адронов, входящих в изомультиплет, следующим образом выражается через средний электрический заряд < Q > в мультиплете

(4.2)

На опыте обнаружено большое количество барионных (B =1) и мезонных (B =0) изосинглетов с различными значениями спина J и четности Р. Каждый изосинглет описывается волновой функцией , которая преобразуется по изоскалярному представлению (0, 0). Для него N (0, 0) = 1, Т = 0, и Y = 2 Q. Будем обозначать волновую функцию каждого конкретного изосинглета просто символом частицы. Тогда - это барионные изосинглеты: со странностью S =-1, с очарованием C = +1, с b =-1, с S =-3, со странностью S =-2 и очарованием С = +1 одновременно, а также мезонные изосинглеты: , у которых S = C = b = t = 0, , у которых C = S = ±1, b = ±1, , у которых C = b = ±1, соответственно. Кроме того, обнаружены мезонные изосинглеты , состоящие из - кварков, и мезонные изосинглеты и состоящие из - кварков.

Обнаружены также барионные и мезонные изодублеты с различными значениями спина J и четности Р. Каждый изодублет описывается волновой функцией , которая преобразуется по фундаментальному (изоспинорному представлению (1, 0)). Для него N (1, 0) = 2, , , и , .

Существуют изодублеты, состоящие из -барионов, для которых квантовые числа S=C=b=t =0, Y=B =1, и следовательно, компонентам функции отвечают заряды , . Поэтому волновую функцию для таких барионов можно записать в виде

. (4.3)

Наиболее важным из этих изодублетов является нуклонный изодублет, состоящий из протона и нейтрона. Для его волновой функции обычно используется стандартное обозначение

.

Изодублеты составляют также различные -барионы со странностью и . Для них . Обнаружены еще изодублеты, состоящие из барионов и со странностью S =-1, у которой соответственно С =+1, Y =-1. Для них , , .

Волновые функции таких барионов имеют вид

(4.4)

Приведем также волновые функции для изодублетов, состоящих из соответствующих антибарионов:

(4.5)

Обнаружены мезонные изодублеты, волновые функции которых имеют вид: и для стронных мезонов (S =+1) и антимезонов (S =-1); и для очарованных мезонов (С =+1) и антимезонов (С =-1); и для мезонов и антимезонов, обладающих соответственно квантовыми числами b =+1 и b =-1.

Постоим теперь волновые функции для существующих в природе мезонных и барионных изотриплетов. Каждый изотриплет можно описывать волновой функцией (см. (3.14))

, (4.6)

которая преобразуется по неприводимому представлению (1, 1). Здесь N (1, 1)=3 и T =1. Для изотриплета в таком представлении , , а компонентам отвечает проекции изоспина . При этом заряды частиц, описываемых этими компонентами, равны:

, , (4.7)

Существуют мезонные изотриплеты, состоящие из и а- мезонов, обладающих квантовыми числами S=C=b=t =0 и различными значениями спина J и четности Р. Для них средний электрический заряд , а отдельным компонентам волновой функции отвечают заряды , , . В соответсвии с этим, волновые функции таких мезонов с учетом нормировки можно записать в виде:

, ,

, (4.8)

Существуют также барионные изотриплеты, состоящие из частиц со странностью S =-1 и Y =0 и из частиц с очарованием C =+1 и Y =2, обладающих различными значениями спина J и четности P. Их волновые функции в этом представлении имеют вид:

, (4.9)

Для описания изотриплетов, однако, можно использовать и другие представления волновых функций. Если опустить верхний индекс у функции и затем симметризовать ее по нижним индексам, то получим волновые функции , преобразующиеся по неприводимому представлению (2, 0) группы SU (2). Компонентам , и отвечают проекции изоспина и . При этом , , (4.10)

Компоненты функций для изотриплета -мезонов и для изотриплета -гиперонов в таком представлении следующим образом выражаются через волновые функции составляющих их части (см. зад. 1 и 2)

(4.11)

Обнаружены, наконец, барионные изоквартеты, состоящие из -резонансов с квантовыми числами S=C=b=t =0, Y =1, обладающие различными значениями спина и четности . Их волновые функции можно представить в виде тензоров , преобразующихся по неприводимому представлению (3, 0) группы SU (2). При этом различным компонентам тензора отвечают проекции изоспина и заряды , , , . Поэтому сами компоненты тензора выражаются следующим образом через волновые функции -барионов:

, , , (4.12)

Для изоквартетов возможны, конечно, предсьавления (2, 1), (1, 2) и (0, 3), по которым преобразуются соответственно волновые функции , и .

Отметим в заключение, что в любой из перечисленных в этой главе изомеров топлетов пеально входят очень близкие по массе частица, для которых отношение .