Представление, сопряженное фундаментальному (0,1).

Размерность этого представления также N(0, 1)=N. Операторами, входящими в это представление, являются эрмитово сопряженные элементы группы , а волновые функции , составляющие соответствующий мультиплет, содержат только один верхний индекс (p=0, q=1) и преобразуются по тому же закону (2.2), что и , то есть следующим образом

или в компонентах , (2.32)

или для инфинитезимальных преобразований

Волновые функции с одним верхним индексом называют сопряженными спинорами по группе SU(N).

Все другие представления по группе SU(N) можно строить из фундаментального и сопряженного ему следующим образом.

Определим тензор с р нижними индексами как величину, преобразующуюся по закону или для компонент

(2.33)

Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до N. Можно сказать, что оператор представления действует на волновую функцию как прямое произведение из р операторов фундаментального представления (2.30)

Аналогично, тензор с q верхними индексами преобразуется под действием оператора представления по закону или для компонент

. (2.34)

То есть можно сказать, что оператор представления действует на волновую как прямое произведение из q операторов представления, сопряженного фундаментальному

Волновые функции , имеющие р – нижних и q – верхних индексов, преобразуются по группе SU(N) следующим образом или по компонентам

(2.35)

То есть функция преобразуется под действием операторов представления группы, как прямое произведение из р операторов фундаментального и q операторов сопряженного фундаментальному представлений

Таким образом, закон преобразования тензоров SU(N) c произвольным числом нижних и верхних индексов такой же, как у прямого произведения соответствующего числа элементарных и сопряженных им спиноров. Спинор реализует элементарное представление SU(N). Любое другое тензорное представление группы SU(N) можно получить из этого элементарного.

Заметим, однако, что представления, по которым преобразуются построенные нами функции , и , не являются неприводимыми. Убедиться в этом можно с помощью особых тензоров, преобразующихся по группе SU(N). Тензор сворачивает пару из нижнего и верхнего индексов. Тензоры , опускающий и уничтожающий верхние индексы, и , поднимающий и уничтожающий нижние индексы, которые меняют свой знак при нечетной перестановке любой пары индексов в них.

Подействуем, например, тензором на волновую функции. , т.е. образуем сверку этого тензора по паре индексов, нижнего и верхнего. Тогда получим

,

т.е. . Таким образом, свертка тензора преобразуется под действием операторов представления группы сама через себя по представлению меньшей размерности. То есть представление, по которому преобразуются волновые функции не составляют мультиплет.

Все другие неприводимые представления, кроме скалярного, фундаментального и сопряженного фундаментальному, и соответствующие им мультиплеты построим далее для конкретных групп SU(2) и SU(3), имеющих фундаментальное значение в физике взаимодействия ЭЧ.