Глава 5. Проявление изотопической симметрии адронов в процессах сильного взаимодействия

В предложении изотопической инвариантности СВ каждый адрон представляет собой частицу с заданным изоспином Т, различные состояния которой характеризуются значениями его проекции (всего 2 Т +1 значений) и объединяются в один изомультиплет. Ситуация здесь похожа на ситуацию с обычным спином. Любая частица обладает спином s, а ее состояния характеризуются значениями проекции саина (всего 2 s +1 значений) и объединяются в один спиновый мультиплет.

Имеется, однако, одно существенное различие. Для получения состояния любой частицы с определенным значением проекции спина требуется приложить усилия по ее поляризации, а состояния адрона с определенными значениями проекции изоспина (заряда Q) естественным образом существуют в природе. Поэтому адроны, участвующие в различных процессах, находятся, как правило, в состоянии с определенными значениями проекции изотопического спина (в изотопически поляризованных состояниях) и между амплитудами таких процессов возникают при этом наблюдаемые на опыте изотопические соотношения.

Таких соотношений можно вывести очень много для разных реакций. Однако, идея их получения, одна и та же. Рассмотрим ставший классическим пример: изотопические соотношения в -реакциях.

Так как состояния нуклона образует изодублет с и , а состояния пиона - изотриплет (или с и , 0, то в принципе, возможны шесть (N (1, 0)× N (2, 0)=2× 3=6) состояний системы . Полный изоспин такой системы может быть либо , либо (в соответствии с обычными правилами сложения системы разбиваются на четыре состояния с , , и два состояния с , . Эти четыре и два состояния преобразуются по неприводимым представлениям группы изоспина (3, 0) и (1, 0), соответственно.

Рассмотрим сначала состояния с , образующие изоквартет . Максимальный заряд здесь Q =+2 отвечает (состояние ), минимальный Q =-1 отвечает (состояние ). Построим состояние , действуя понижающим оператором на состояние , и состояние , действуя повышающим оператором на состояние .

Используя алгебру группы SU(2) (см. (3.6)), легко установить, что матричные элементы генераторов имеют вид (формулы такие же, как и известные формулы для матричных элементов проекций момента в квантовой механике):

(5.1)

Таким образом, имеем

,

,

.

Действуя понижающим оператором на состояние и повышающим оператором на состояние получаем выражения

,

из которых следует, что

(5.2)

Состояния системы с и можно записать, очевидно, в виде суперпозиций

.

Тогда из условия нормировки этих функций и ортогональности их функциям (5.2) вытекает, что

(5.3)

Наконец, из соотношений (5.2) и (5.3) можно следующим образом выразить волновые функции -системы, описывающие -мезоны и нуклоны с определенными зарядами и , через волновые функции :

(5.4)

СВ различают значения изоспина Т и не различают значения его проекции. Поэтому с помощью волновых функций (5.4) амплитуды (их всего восемь разных) всех наблюдаемых на опыте процессов -рассеяния можно выразить через амплитуду

и (5.5)

с заданным значением изоспина и , соответственно. В результате получаем:

,

, ,

,

,

, (5.6)

,

,

, .

Еще два процесса и являются обратными процессами и , поэтому их амплитуда совпадает по модулю с амплитудами и .

Из (5.6) следуют различные соотношения между амплитудами процессов -рассеяния. Так, например,

, , ,

и т.д. (5.7)

Особый интерес представляет соотношение

(5.8)

между амплитудами рассеяния заряженных -мезонов на протонах, так как такие реакции легко наблюдаются на опыте. Амплитуды являются некоторыми комплексными числами, которые можно изображать на плоскости векторами. Поэтому соотношению (5.8) соответствует на этой плоскости треугольник (см. рис.1).

Перейдем теперь от этих амплитуд к наблюдаемым величинам. Заметим, что при вычислении амплитуд подразумевалось, что все остальные переменные (кроме изотопических) - энергия, импульс, спин и т.д. были фиксированы. Поэтому сравнивать между собой можно наблюдаемые величины, относящиеся к выбранным реакциям -рассеяния, отвечающие одинаковым начальным и одинаковым конечным пространственно-спиновым состояниям участвующих в рассеянии частиц.

Выберем амплитуды f так, что дифференциальное сечение . Тогда из соотношений (5.7) с учетом сказанного выше об энергиях и спиновых состояниях следует равенство полных сечений:

,

,

, (5.9)

и соответствующих им дифференциальных сечений.

Рассмотрим теперь соотношение (5.8). Из него следует неравенство треугольника для дифференциальных сечений соответствующих реакций -рассеяния с учетом сказанного выше об энергиях, углах вылета и спиновых состояниях

(5.10)

Чтобы перейти от дифференциальных сечений к полным, нужно возвести выражение (5.10) в квадрат и проинтегрировать по углам. Тогда, используя неравенство Шварца-Буняковского, получим

. (5.11)

Это неравенство выполняется на опыте, но оно накладывает довольно слабые ограничения на экспериментальные данные.

Особый интерес представляет случай, когда . Как известно из опыта, при энергиях p-мезонов 120МэВ, т.е. при полной энергии Е» 1200 МэВ, реакции -рассеяния идут через резонансное состояние с . Тогда, как следует из выписанных соотношений (5.6), здесь

, , ,

откуда в области D-резонанса

(5.12)

Эксперимент показывает, что в этой области энергий полные сечения относятся как 93: 22: 11. При энергиях выше 200 МэВ начинает давать заметный вклад и амплитуда перехода с изоспином .

Наконец, в предельном случае очень больших энергий длина волны частиц , и рассеяние аналогично дифракции на черном шарике. Сечение , где R – радиус нуклона. Естественно ожидать, что в этой области энергий изотопические состояния мишени и налетающей частицы несущественны, так как картина рассеяния определяется чисто геометрическими факторами. В этом случае , откуда

, (5.13)

(так называемая теорема Окуня-Померанчука).

Существует и другой, более простой, метод получения соотношений между амплитудами процессов (5.6). Он называется методом инвариантным амплитуд.

В предположении изотопической инвариантности СВ изоспин Т при рассеянии не меняется. Это означает, что полная амплитуда рассеяния одного изомультиплета на другом должна быть изоскаляром.

С помощью волновых функций нуклона (4.3) и p-мезона (4.11) можно построить два таких изоскаляра

и ,

так что полная амплитуда для процесса записывается в виде

, (5.14)

где и - неизвестные, но одинаковые для всех -процессов функции пространственно-спиновых переменных. Подставляем в (5.14) волновые функции (4.3) и (4.11), находим

, ,

, . (5.15)

Из (5.15) следует, в частности, соотношения (5.9) для сечений и соотношение (5.8), а значит и неравенство треугольника (5.10).

В рамках изотопической симметрии построим теперь гамильтониан - взаимодействия он должен быть изоскаляром (в процессе сохраняются Т и ), поэтому

, (5.16)

где = константа взаимодействия, а множитель введен по историческим причинам (см. ниже).

Подставляя в (5.16) волновые функции (4.3) для нуклона и (4.8) для пиона, находим

(5.17)

Следовательно, в предложении SU (2) инвариантности CB имеет место следующее соотношение между константами взаимодействия в различных вершинах

(5.18)

Заметим, что гамильтониан (5.16) можно записать в другой форме, если представить три компоненты (4.11) функции в виде вектора

Тогда

. (5.19)

В старых работах использовалась только эта форма записи гамильтониана взаимодействия, чем и объясняется появление множителя в выражении (5.16).

Этот, подробно рассмотренный пример, иллюстрирует общий метод построения гамильтонианов взаимодействия и нахождения связей между константами взаимодействия, справедливый и в случае других более широких групп внутренней симметрии.

Рассмотрим, наконец, в рамках изотопической инвариантности взаимодействия нуклонов между собой. Какие-либо интересные изотопические соотношения между сечениями упругого рр -, pn - и nn -рассеяния не возникают. Однако, свойством зарядовой независимости обладают силы, действующие между двумя нуклонами атомного ядра. Причем, такие парные взаимодействия нуклонов дают основной вклад в ядерные силы. Посмотрим, к чему приводит учет изотопической симметрии в этом случае.

Полная волновая функция системы двух нуклонов, рассматриваемых в качестве тождественных частиц (фермионов), должна быть антисимметричной относительно их перестановки. Поэтому , и симметрия координатной волновой функции двух нуклонов будет зависеть от их полного спина S и изоспина Т.

Изотопические волновые функции системы из двух нуклонов имеют вид

,

, (5.20)

т.е. являются симметричными, если Т - 1, и антисимметричными, если Т = 0. В ядерных взаимодействиях нуклонов сохраняется полный изоспин , полный момент , величина полного спина S и четность . Возможные значения соответствующие спиновые функции и . Поэтому при заданных значениях T и S их координатные волновые функции обладают следующей симметрией:

, , , (5.21)

Спин системы двух нуклонов в ядерных взаимодействиях не сохраняется, поэтому не сохраняется и их орбитальный момент. Тем не менее величина L может оказаться сохраняющейся в силу сохранения в таких взаимодействиях честности .

Будем обозначать возможные состояния двух нуклонов с заданными значениями J, S, L и четности с помощью символов , где

Тогда для двух нуклонов с заданным значением изоспина Т возможны следующие состояния:

для Т = 1,

(5.22)

для Т = 0.

В природе существует ядро, состоящее из одного протона и из одного нейтрона - дейтрон. Спин дейтрона J = 1, координатная волновая функция его основного состояния симметрична. Поэтому его изоспиновая волновая функция антисимметрична и должна отвечать состоянию с Т = 0.

Таким образом, основным состоянием дейтрона может быть только состояние двух нуклонов. Опыт показал, что квадратный момент дейтрона, которому отвечает асимметричное состояние , отличен от нуля, хотя и мал. Поэтому можно считать, что дейтрон является сферически симметричной системой (состояние ) с небольшой (~5%) примесью асимметрии, вносимой состоянием .

Ядерные силы, вообще говоря, не являются аддитивными. Это означает, что взаимодействие в системе, состоящей более чем из двух нуклонов, не сводится к сумме взаимодействий всех пар частиц между собой. Но, по-видимому, тройные и т.д. взаимодействия играют малую роль по сравнению с парными, и поэтому при рассмотрении свойств сложных ядер можно в значительной степени основываться на свойствах парных взаимодействий (5.22).

Задачи

1. Найти связь между сечениями реакций и .

Решени е. Так как изоспин дейтрона равен нулю, то

Поэтому амплитуды реакций и , откуда вытекает искомое соотношение между сечениями

(5.23)

Выражение (5.23) можно получить и по-другому. Для этого достаточно нарисовать диаграммы рассматриваемых процессов и воспользоваться отношением (5.18). Тогда

и очевидно опять получается соотношение (5.23).

1. Найти связь между сечениями реакций и .

Решение. Нарисуем диаграммы для рассматриваемых процессов. Они имеют вид

Поэтому

1. Найти изотопические соотношения для процессов

, и .

Решение. Используя соотношения для волновых функций конечных и начальных состояний в рассматриваемых процессах в виде

,

,

.

С помощью них находим, что

,

,

.

Исключая отсюда величины и , получаем следующее изотопическое соотношение между амплитудами рассматриваемых реакций

, (5.25)

похожее на соотношение (5.8). Из него следует неравенство треугольника (5.10), в котором теперь

,

и ,

и все эти распределения отвечают одинаковым начальным и одинаковым конечным пространственно-спиновым состояниям участвующих в реакциях частиц.