Глава 3. Изотопическая группа SU(2) и ее представления.

Существование в природе адронных зарядовых мультиплетов с размерностями 1, 2, 3, 4, в которые входят очень близкие по массе частицы (например,

и т.д.) заставляет предположить, что у СВ адронов имеется группа внутренней симметрии SU(2). Именно в такой группе размерности мультиплетов идут без пропусков 1, 2, 3. Принято именовать группу SU(2) изогруппой (группой изотопической симметрии), а сами мультиплеты изомультиплетами.

Преобразования изотопической группы SU(2) действуют в некотором воображаемом двухмерном комплексном изотопическом пространстве (размерность группы N=2). Элементы группы - комплексные унитарные унимодулярные матрицы (2х2). Их обычно выбирают в виде или для инфинитезимальных преобразований в виде

, (3.1)

Где - параметры группы, a = 1, 2, 3 (порядок группы ), и генераторы группы задаются с помощью матриц Паули , , , которые эрмитовы и обладают нулевым следом . Кроме того, для них выполняются соотношения и

. (3.2)

Соотношение (3.2) задает алгебру группы SU(2), а являются ее структурными константами.

Заметим, что структурные константы группы SU(2) совпадают со структурными константами группы SO(3) (совпадают алгебры этих групп). Поэтому в группе SU(2), также как в группе SO(3), имеется всего один оператор Казимира

, (3.3)

и ранг группы равен единице (отсутствуют коммутирующие между собой генераторы).

Элементы группы (3.1) вращают в двухмерном комплексном пространстве векторы , которые удобно задавать в матричной форме в виде двухкомпонентных спиноров

и , (3.4)

составленных из компонент вектора . При этом преобразования (2.2) оставляют неизменной комбинацию .

Перейдем теперь к построению неприводимых представлений изотопической группы SU(2) и соответствующих им изомультиплетов. Будем задавать операторы произвольного представления группы SU(2) в виде

или (3.5)

Для параметров группы . Генераторы представления изотопической группы – операторы проекций изотопического спина (изоспина) в тензорной форме являются матрицами , где - размерность представления (число волновых функций, преобразующихся по данному представлению). Для них выполняются соотношения

(3.6)

Инвариантным оператором (оператором Казимира) является оператор квадрата изоспина

, (3.7)

где Т – величина изотопического спина.

Волновые функции в матричной форме, преобразующиеся по этому представлению, являются тензорами

, (3.8)

у которых имеется р – нижних и q – верхних индексов. Каждый их индексов здесь пробегает значения 1 и 2.

В изотопической группе имеются особые тензоры: тензор , сворачивающий пару из нижнего и верхнего индексов у функции , и антисимметричные взаимно унитарные тензоры с компонентами и

. Тензор опускает и уничтожает нижние индексы, а тензор поднимает и увеличивает верхние индексы у функции . Так, например, с помощью тензора можно опустить вниз все верхние индексы у функции и превратить ее в функцию

. (3.9)

Простейшим неприводимым представлением изогруппы SU(2) является изоскалярное представление (0, 0). Все операторы, входящие в это представление, , и следовательно, его генераторы - операторы изоспина , а = 1, 2, 3. Размерность изоскалярного представления N(0, 0) = 1. Это означает, что в изоскалярном мультиплете имеется всего одна волновая функция , которая не изменяется под действием операторов (3.5)

.

Изотопический спин изоскаляра Т=0.

Изоспинорное (фундаментальное) представление (1, 0). Операторы, входящие в него, совпадают с элементами группы . Операторы изотопического спина этого представления

, (3.10)

т.е. генераторы представления совпадают с генераторами группы. Размерность представления N(1, 0)=2. Волновые функции и , входящие в изоспинор , преобразуются по этому представлению подобно компонентам вектора (2.4), т.е.

. (3.11)

По повторяющимся индексам k здесь подразумевается суммирование от 1 до 2. Изотопический спин изоспинора .

Представление, сопряженное фундаментальному (0, 1) в группе SU(2) не является новым неприводимым представлением. Оно эквивалентно изоспинорному. Волновые функции (сопряжение изоспинора) преобразуются под действием операторов подобно сопряженному вектору , но из величины и можно образовать линейные комбинации, преобразующиеся по закону (3.11).

Действительно, с помощью тензора нижний индекс у компонент спинора можно поднять, т.е. . Отсюда следует, что компонента сопряженного спинора преобразуется как , а преобразуется как . Поэтому для группы SU(2) представления, по которым преобразуются волновые функции и оказываются унитарно эквивалентными и волновые функции с верхними индексами в ней можно вообще не рассматривать.

Опустим у функции все верхние индексы (см. (3.9). В результате получим тензоры с (p+q) нижними индексами, которые, однако, еще не преобразуются по неприводимому представлению и, следовательно, не образуют мультиплет. Действительно, запишем волновую функцию в виде

(3.12)

Здесь означает симметризацию, а - антисимметризацию по индексам и . Тогда, умножая тензор (3.12) на тензор , получаем волновую функцию , которая преобразуется по представлению меньшей размерности.

Таким образом, для получения волновых функций, преобразующихся по неприводимому представлению максимальной при заданных p и q размерности (представление (p+q, 0)), необходимо произвести симметризацию тензора по всем нижним индексам, то есть образовать волновые функции

(3.13)

По неприводимым представлениям при этом будут преобразовываться волновые функции

и т.д.

Однако, для получения из тензора волновых функций, которые преобразуются по неприводимому представлению группы SU(2), не обязательно опускать у него верхние индексы и затем симметризовать полученные таким образом функции по всем нижним индексам. Можно просто вычесть из функции все ее свертки, которые преобразуются по представлениям меньшей размерности. Тогда волновые функции, которые преобразуются при заданных p и q по неприводимому представлению (p, q) максимальной размерности, будут иметь вид

- свертки. (3.14)

Найдем теперь вид генераторов представления, по которому преобразуется волновая функция . Под действием операторов представления эта функция преобразуется как прямое произведение из р изоспиноров и q сопряженных изоспиноров , то есть для инфинитезимальных преобразований (3.1) и (3.5) по закону

(3.15)

Отсюда получаем для генераторов любого представления группы SU(2) (операторов изотопического спина) следующее выражение

(3.16)

Подсчитаем теперь размерность любого неприводимого представления группы SU(2) - число базисных волновых функций в мультиплете. Различные компоненты тензора различаются числом индексов 1 и 2 в них. В силу симметрии можно расположить все 1 впереди и записать базисную функцию в виде , помещая между 1 и 2 «перегородку». Возможное число таких «перегородок» и задает число базисных функций в мультиплете (размерность неприводимого представления).

Например, в мультиплете входят волновые функции и , то есть возможны 4 положения «перегородки». Поэтому размерность такого мультиплета N (3, 0)=4. В общем случае возможны (p+q+ 1 ) положений «перегородки» между индексами 1 и 2, и следовательно, у тензора имеется (p+q+ 1 ) компонент. Отсюда следует, что размерность любого неприводимого представления группы SU(2)

. (3.17)

Каждый мультиплет в группе SU(2) определяется величиной изотопического спина Т (оператор Казимира ), а число волновых функций в нем числом (2Т+1) проекций изотопического спина . Поэтому величину изотопического спина в мультиплете можно следующим образом выразить через числа p и q

(3.18)

Величина проекции изотопического спина, характеризующая каждую базисную волновую. функцию, входящую в мультиплет (3.14), также зависит от числа единиц и двоек среди ее индексов. Так как матричные элементы , то из выражения (3.15) для а=3 следует, что

. (3.19)