Глава 2. Группа SU(N).

Для описания внутренних симметрий адронов используются унитарные группы SU(N), осуществляющие собственные вращения N -мерного комплексного пространства вокруг некоторой точки (начала координат). N – размерность группы SU(N).

Для группы SU(N) допускается следующая геометрическая интерпретация. Рассмотрим N -мерное комплексное пространство векторов , которые будем записывать в виде n -компонентных столбцов (спиноров), и введем эрмитово сопряженные спиноры х ⁺:

(2.1)

Здесь комплексные числа x_i и xⁱ - компоненты вектора и сопряженного вектора, нижние и верхние индексы «i» задают соответственно номер строки и номер столбца в спиноре.

Элементы группы SU(N) – комплексные унитарные унимодулярные () матрицы (N´ N) – осуществляют при вращении N -мерного пространства следующие преобразования спиноров и (2.1) компонент векторов

(2.2)

По дважды повторяющимся индексам здесь подразумевается суммирование от 1 до N. Унитарные матрицы (N´ N), осуществляющие преобразования (2.2), не изменяют квадратичную форму

Говорят, (по аналогии с вращением трехмерного действительного пространства (группа SO(3))), что преобразования группы SU(N) не изменяют «длину вектора» в N -мерном комплексом пространстве.

Непрерывную группу конечного порядка (с конечным числом параметров ) называют группой Ли. Таковыми являются группы SU(N) и группа SO(3). Группы Ли обладают важным свойством: любое конченое вращение пространства вокруг некоторой оси может быть построено как последовательность бесконечно малых вращений вокруг этой оси. Поэтому в таких группах фундаментальную роль играют бесконечно малые вращения вокруг той или иной оси, осуществляемые инфинитезимальными (бесконечно близкими к единичному) преобразованиями. Если элемент преобразования бесконечно мало отличается от единичного, то есть является инфинитезимальным, то ему соответствуют бесконечно малые значения параметров группы . В этом случае

(2.3)

где операторы

, (2.4)

называемые генераторами группы Ли, представляют из себя квадратные матрицы (N´ N), порядок которых равен размерности пространства, в котором действуют групповые преобразования.

Рассмотрим некоторые свойства генераторов группы Ли. Подставляя инфинитезимальные элементы преобразования (2.3) в определение эрмитовых матриц , получаем, что

(2.5)

и таким образом генераторы группы Ли являются антиэрмитовыми операторами. Кроме того, из условия унимодулярности матриц следует, что

(2.6)

Покажем теперь, что элементы преобразования в группе Ли можно всегда записать в виде

(2.7)

Действительно, вращение N -мерного пространства вокруг K -ой оси на конечный угол всегда можно представить как бесконечно большое число вращений на бесконечно малые углы . Поэтому мы можем написать

,

что совпадает с (2.7).

Подсчитаем порядок группы SU(N), т.е. число независимых действительных параметров и, следовательно, число генераторов в группе. Комплексная матрица (N´ N) содержит действительных параметров, на которые условия (2.5) и (2.6) накладывают ограничений. Поэтому в группе SU(N) существует линейно независимых матриц (генераторов группы ) и параметров группы что и определяет ее порядок

(2.8)

Заметим, что любой элемент группы SO (3) также можно представить в виде (2.7)

Генераторы группы SO (3) при этом вычисляются с помощью матриц (1.3) и имеют вид

(2.9)

Можно проверить, что генераторы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям

(2.10)

где - структурные константы группы SO (3). Они образуют полностью антисимметричный единичный тензор с компонентами, равными +1, если индексы составляют четную перестановку чисел 1 2 3, равными -1, если перестановка нечетная, и равными 0 в остальных случаях.

Структурные константы определяются для любой группы Ли, в которой , но существует такое, что . Действительно, . Пусть Тогда, если все или все , то , т.е. все Поэтому билинейны по Теперь из равенства имеем

Приравнивая билинейные по части, получаем для генераторов группы Ли коммутационные соотношения

(2.11)

Для группы SU(N) индексы k, r, p пробегают значения от 1 до , а константы являются структурными константами. Они удовлетворяют соотношениям

(2.12)

которые следуют из (2.12) и из тождества Якоби

Соотношение (2.11) показывают, что в группе Ли совокупность генераторов и их линейных комбинаций замкнута относительно операции коммутирования, т.е. коммутаторы, составленные из генераторов группы Ли, выражаются с помощью структурных констант через линейные комбинации генераторов. Это означает, что генераторы образуют алгебру Ли [2]

Генераторы групп, используемых для описания симметрий квантовых физических систем и их взаимодействий, действуют на волновые функции системы и выражаются через операторы физических величин. Поэтому их удобно задавать в виде эрмитовых операторов

(2.13)

удовлетворяющих следующим коммутационным соотношениям

(2.14)

При этом элементы группы (1.15) приобретают вид

(2.15)

Так например, генераторы группы SO (3)

(2.16)

представляют собой операторы проекций момента, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

Величина момента S=1, так как Заметим еще, что любые матричные элементы проекций момента (2.16) можно записать в виде

(2.17)

В дальнейшем мы будем любой адрон рассматривать как квантовую систему. Инвариантность такой системы и ее взаимодействий относительно групповых преобразований подразумевает определенные трансформационные свойства ее волновых функций и гамильтониана.

Вся совокупность волновых функций составляет гильбертово пространство. Относительно групповых преобразований все гильбертово пространство разбивается на инвариантные подпространства, т.е. существуют семейства волновых функций, которые по определенному закону преобразуются только друг через друга, образующие в нем векторы состояний , компоненты которых под действием элементов группы g по определенному закону преобразуются только друг через друга.

Будем взаимно однозначно сопоставлять каждому элементу группы g оператор Потребуем также, чтобы любому произведению элементов группы соответствовало произведение операторов В этом случае говорят, что совокупность операторов образует представление данной группы симметрии, а волновая функция (вектор составления) следующим образом преобразуется по этому представлению

(2.18)

Максимальное число линейно независимых волновых функций - размерность подпространства, в котором действуют эти операторы (это представление группы), называют размерностью данного представления группы. Если инвариантное подпространство волновых функций, на котором действует данное представление, не содержит инвариантных подпространств меньшей размерности, то говорят о неприводимом представлении группы. В противном случае представление называется приводимым. Совокупность волновых функций, преобразующихся по неприводимому представлению группы симметрии называется мультиплетом группы. Число таких волновых функций - размерность мультиплета.

Инвариантность квантовой системы и ее взаимодействий относительно преобразований из группы симметрии подразумевает, что при таких преобразованиях не должно изменять свой вид уравнение Шредингера

.

Подействуем на это уравнение оператором U(g) представления группы, по которому преобразуется волновая функция системы (см.(2.18)). Тогда получим

или

откуда

(2.19)

Таким образом, гамильтониан такой физической системы должен коммутировать со всеми операторами любого представления рассматриваемой группы симметрии. Кроме того, при преобразованиях их группы симметрии не должны меняться вероятности, т.е.

Поэтому

(2.20)

т.е. операторы представления группы симметрии физической системы являются унитарными операторами.

Так как каждому элементу (2.15) группы Ли взаимно однозначно сопоставляется оператор U(g), то операторы представления зависят, очевидно, от тех же параметров группы , и можно записать, что

. (2.21)

Единичному элементу группы g (0,..., 0)=1 соответствует единичный оператор представления

, (2.22)

а величины

(2.23)

входящие в инфинитезимальные операторы представления группы

(2.24)

называют генераторами представления группы. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

(2.25)

с теми же самыми структурными константами, которые входят в коммутатор (2.14) генераторов самой группы, т.е. образуют ту же алгебру, что и генераторы группы

При этом из условий (2.19) и (2.20) очевидно, следует, что все генераторы представления группы симметрии физической системы являются эрмитовыми операторами (матрицами)

(2.26)

и коммутируют с ее гамильтонианом

(2.27)

Последнее означает, что физические величины, отвечающие таким операторам (генераторам представления) являются интегралами движения физической системы и кроме того могут быть заданы (измерены) одновременно точно с энергией системы.

Рассмотрим теперь некоторые общие следствия для физической системы вытекающие из наличия у нее группы симметрии.

1. Из генераторов представления группы симметрии можно составить эрмитовы взаимно коммутирующие комбинации, которые коммутируют также со всеми генераторами представления Такие операторы называются инвариантными операторами или операторами Казимира (казимирами на жаргоне). Их основным свойством является то, что на каждом данном мультиплете эти операторы кратны единичному оператору так как в противном случае такая комбинация генераторов будет опять генератором (лемма Шура).

Возможное число казимиров в группе является свойством данной группы и определяется ее алгеброй (2.25).

Например, в группе SO(3) (здесь генераторы представления совпадают с операторами орбитального момента квантовой системы) имеется единственный казимир Это следует из алгебры представления группы вращений

. (2.28)

Почему так важно знать все операторы Казимира в группе симметрии физической системы? Чтобы ответить на этот вопрос обратимся опять к группе SO(3). В этом случае такое знание дает возможность выбрать для описания вращательных свойств физической системы базисные волновые функции любого неприводимого представления в виде , где квантовое число l определяет собственные значения оператора Казимира (квадрата орбитального момента физической системы) и называется орбитальным моментом системы, а m задает при этом значения проекции момента системы на ось Z =3 и характеризует различные состояния квантовой системы, входящие в мультиплет. Как следует из алгебры представления группы вращений (2.28) орбитальный момент системы может принимать значения l = 0, 1, 2,....

При активном вращении системы вокруг некоторой оси в трехмерном действительном пространстве (например, вокруг оси y =2 на угол ) ее вектор состояний преобразуется следующим образом

,

т.е. при заданном l волновая функция переходит в линейную комбинацию функций с различными , но с тем же l. При этом коэффициенты - матричные элементы оператора вращения - составляют для данного неприводимого представления матрицу ((2l+1´ (2l+1)).

Таким образом, состояния с одним и тем же значением l и различными значениями m при вращении системы преобразуются сами через себя. Они образуют базис неприводимого (2l+1) -мерного представления группы SO(3) и составляют l -мультиплет. Т.е. собственные значения оператора Казимира характеризуют возможный данный мультиплет в целом и задают в группе SO(3) различные мультиплеты.

В произвольной группе симметрии физической системы набор собственных значений операторов Казимира также составляет естественный набор квантовых чисел, характеризующих мультиплеты в целом. Причем число операторов Казимира является свойством данной группы симметрии, оно не меняется от представления к представлению и определяется его алгеброй.

2. Ранг группы – еще одно важное понятие, характеризующее группу симметрии физической системы. Ранг группы - это максимальное число линейно независимых генераторов группы (генераторов ее неприводимого представления), коммутирующих друг с другом. Он также целиком и полностью определяется ее алгеброй. Базисные функции в мультиплете, при этом, можно выбирать так, чтобы они были одновременно собственными функциями таких взаимно коммутирующих генераторов данного неприводимого представления. Собственные значения таких генераторов – квантовые числа, характеризующие различные состояния физической системы, входящие в мультиплет.

Так группа вращений в трехмерном действительном пространстве SO(3) - группа первого ранга. В ней нет взаимно коммутирующих генераторов ( при ). Базисные волновые функции l -мультиплета в ней классифицируются собственными значениями m оператора M₃. Другие квантовые числа одновременно с m здесь задать нельзя.

3. Инвариантность взаимодействий физической системы относительно ее группы симметрии означает, что если волновая функция начального состояния системы (до взаимодействия) принадлежала некоторому мультиплету, то в результате взаимодействия, приводящего к распаду или к рассеянию, система обязательно перейдет в конечное состояние, волновая функция которого должна принадлежать тому же самому мультиплету. Это связано с тем, что операторы Казимира группы симметрии системы коммутируют с гамильтонианом системы , и поэтому их собственные значения являются интегралами движения системы. Это обстоятельство устанавливает определенные правила отбора физических величин, характеризующих процессы, происходящие с системой в результате рассматриваемого взаимодействия.

4. Наконец, так как при наличии группы симметрии у системы для любого ее представления операторов должны выполняться соотношения:

то собственные значения гамильтониана системы, в частности, массы всех частиц, входящих в мультиплет, должны быть одинаковы. Действительно, пусть - некоторая волновая функция из определенного мультиплета, описывающая состояния с определенной массой M, т.е. . Другие члены мультиплета задаются очевидно функциями . Тогда, действуя на эти функции оператором энергии системы и используя соотношение получаем

для любого состояния, входящего в данный мультиплет.

Таким образом, приходим к важному следствию: все состояния, входящие в мультиплет по данной группе симметрии, физической системы должны быть вырождены по массе. Кратность вырождения – размерность мультиплета.

Перейдем теперь к построению неприводимых представлений группы SU(N) и мультиплетов, преобразующихся по этим представления. До сих пор при рассмотрении группы симметрии имелось в виду действие операторов представления этой группы на векторы состояний в гильбертовом пространстве. Теперь можно перейти к матричному (тензорному) описанию. Произвольный гильбертов вектор данного неприводимого представления группы SU(N) размерности может быть разложен по базисным состояниям

. (2.29)

Здесь m обозначает некоторый набор квантовых чисел, состоящий из собственных значений операторов Казимира и собственных значений взаимно коммутирующих генераторов данного неприводимого представления. Число таких наборов, по которым производится суммирование в (2.29), совпадает с размерностью представления. Совокупность комплексных чисел - волновая функция в матричной форме - задает при этом то же самое состояние системы, что и волновой вектор , а с преобразованием векторов состояний в гильбертовом пространстве можно сопоставить преобразование величин . Действительно, , где по определению для любого оператора представления группы. Следовательно, , где , что и требовалось получить. Величины оказываются обобщенными тензорами данной группы. При этом каждому индексу m соответствует (как будет видно ниже) набор тензорных индексов.

В тензорном представлении SU(N) - группа унитарных унимодулярных матриц. Генераторы представления являются в этом случае эрмитовыми матрицами, для которых . Последнее свойство следует из соотношения

Будем обозначать неприводимые представления группы SU(N) с помощью символов (p, q), где p - число нижних, а q - число верхних тензорных индексов у волновых функций, преобразующихся по данному неприводимому представлению (входящих в мультиплет). N(p, q) - размерность этого неприводимого представления (размерность мультиплета).

Простейшим неприводимым представлением группы SU(N) является скалярное представление (0, 0). Все операторы, входящие в это представление, , и следовательно, все его генераторы Его мультиплет одномерны, то есть содержат по одной волновой функции в тензорном представлении, которая не изменяется при преобразованиях Таким образом, размерность скалярного представления N (0, 0)=1. Таким образом, размерность скалярного представления . Волновую функцию называют скаляром по группе SU(N. Верхние и нижние индексы у такой функции вообще отсутствуют (p = 0, q = 0).