![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методические указания.
Решение игры mxn – довольно трудоемкая задача, особенно если у нее нет седловой точки. Дальше мы увидим, что матричную игру произвольной размерности можно свести к задаче линейного программирования. Однако игры небольшой размерности можно решить аналитически. Это относится к играм, где хотя бы у одного игрока имеется только две стратегии. Поэтому упрощение игр – необходимая составляющая процесса решения. Игру иногда удается упростить, если уменьшить в ней число стратегий путем вычеркивания некоторых излишних стратегий. Излишние стратегии – это
Проанализируем строки этой матрицы, т.е. стратегии первого игрока. В этой матрице х1=х3 – дублирующие стратегии, оставим одну, например, х1. При любой стратегии второго игрока (индекс j) f2j£ f1j: стратегия х1 предпочтительнее стратегии х2. Получилась матрица
Встанем теперь на точку зрения второго игрока и проанализируем столбцы. При любой стратегии первого игрока fi4£ fi3 – проигрыш второго игрока в случае y4 меньше, чем для y3. Значит, стратегия y3 – заведомо невыгодная, ее можно убрать. Следовательно, окончательный вид матрицы
От матрицы 4х4 мы пришли к матрице 2х3.В этой игре Как же найти смешанные стратегии игроков? Если хотя бы у одного игрока число стратегий не превышает двух, то такие игры могут быть решены аналитически. Рассмотрим решение игр 2х2. Пусть матрица игры, или платежная матрица А=
Найдем средний проигрыш второго игрока при первой стратегии первого игрока: а11× q1+a12× q2=n а21× q1+a22× q2=n, - решим эту систему, вычитая второе уравнение из первого: (а11-а21)× q1+(a12-а22)× q2=0, учитывая, что q2=1-q1, получим (а11-а21-а12+а22)× q1+(a12-а22)=0. Отсюдаq1=(a12-а22)/(а11-а21-а12+а22). Подставляя это значение Q в любое из уравнений, получим значение цены игры n. С точки зрения первого игрока игра решается аналогично, только вычисляется уже средний выигрыш первого игрока: а11× p1+a21× p2=n - при первой стратегии второго игрока а12× p1+a22× p2=n, - при второй стратегии второго игрока. Дальше решаем систему уравнений любым способом. Рассмотрим пример. Матрица игрыА= 6q1+2q2=n 4q1+8q2=n, - решая совместно, получим 2q1-6(1-q1)=0, или 8q1=6, или q1=3/4. Отсюда Q=(3/4, 1/4). Цена игры n =6× 3/4+2× 1/4=5Î [4, 6]. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Поскольку цена игры уже известна, то достаточно написать только одно уравнение для среднего выигрыша: 6p1+4p2=5, p2=1-p1, откуда р1=1/2. Следовательно, Р=(1/2, 1/2). Ответ: P=(1/2, 1/2), Q=(3/4, 1/4), n =5. Систему уравнений, описывающих средний выигрыш первого игрока или средний проигрыш второго, можно решить также методом Крамера. Во втором случае матрица А=
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. Элементы игры. 2. Что такое конфликт? 3. Классификация игр. По каким признакам проводят классификацию? 4. Матричные игры. 5.Что такое ситуация равновесия? 6. Чем характеризуется гарантированный результат? 7. Алгоритм решения игры. 8. Упрощение игры.
|