Определение определителя

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка (1.2). Важнейшей ее характеристикой является определитель.Определитель или детерминант обозначается Det A, detA или ∆:

О-Е: Определителем 1-го порядка матрицы А=(а₁₁) называется число а₁₁, т.е. Det А= а₁₁.

Определители высших порядков определяются с помощью определителей низших порядков: определитель второго порядка с помощью определителя первого порядка, определитель третьего порядка с помощью определителя второго и т.д.

Для того, чтобы понять, как это делается, необходимо ввести следующие понятия:

О-Е: Дополнительным минором элемента а_ij матрицы (1.2) называется определитель (n-1) порядка матрицы, полученной из А вычеркиванием i-той строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij. Обозначается дополнительный минор элемента а_ij символов М_ij.

Например:

.

О-Е: Будем говорить, что элемент а_ij расположен на четном (нечетном) месте, если число (i+j) – четное (нечетное).

В предыдущем примере нуль расположен на нечетном месте,

так как он находится на пересечении второй строки и третьего

столбца.

О-Е: Алгеброическим дополнением элемента а_ij называется дополнительный минор этого элемента, взятый со своим (с противоположным) знаком, если элемент a_ij на четном (нечетном) месте. Обозначается А_ij.

Таким образом: А_ij = (-1)^i+j M_ij (1.3)

Например: А₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ или А₁₂ = - M₁₂

О-Е: Определителем n-го порядка матрицы (1.2) называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгеброические дополнения:

Det A = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + … + a_1nA_1n

(1.4)

при n=2

т.е.

при n=3: