Свойства определителей

1) При замене всех строк матрицы ее соответствующими столбцами определитель матрицы не меняется, т.е.

Det A^T =DetA

Из 1) следует равноправность строк и столбцов. Поэтому формулируемые ниже свойства определителя, касающиеся столбцов матрицы, справедливы и в отношении строк.

2) Если в матрице поменять местами какие-либо два столбца, то определитель изменит знак.

3)

4) Общий множитель всех элементов какого-либо столбца матрицы можно вынести за знак определителя

5) Если все элементы какого-либо столбца являются суммами «к» слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме «к» определителей матриц, у каждой из которых элементами указанного столбца являются соответствующие слагаемые.

6) Если все элементы какого-либо столбца матрицы равны нулю,

то Det A=0.

7) Если в матрице А есть два одинаковых столбца, то Det A=0.

8) Определитель матрицы не изменится, если к элементам какого-либо столбца матрицы прибавить числа, пропорциональные соответствующим элементам любого его столбца.

9)
Сумма произведений некоторых чисел b_1, b₂, …, b_n на алгебраические дополнения элементов какого-либо столбца равна определителю матрицы, полученной из А заменой элементов указанного столбца числами b_1, b₂, …, b_n.

10) Сумма произведений элементов какого-либо столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю.

11) Если все элементы какого – либо столбца матрицы пропорциональны соответствующим элементам другого столбца, то Det A=0.

12) Если один из столбцов определителя есть линейная комбинация других его столбцов, то Det A=0.Верно и обратное: если

Det A=0, то его столбцы линейно – зависимы.