Система n-линейных уравнений с n неизвестными, правило Крамера.

Если m=n, то (1.7) записывается так.

_(1.9)

Определителем системы (1.9) называется число D = Det A, где А – матричный коэффициент этой системы.

Умножим обе части первого уравнения на А₁₁, второго на А₂₁, и т.д. последнею на А₂₁, и т.д. последнего на А_n1 и сложим почленно полученные результаты:

(а₁₁А₁₁+а₂₁А₂₁+…+а_n1А_n1)x₁+(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+…+a_n2A_n1)x₂+…

+(a_1nA₁₁+a₂₁A₂₂+…+a_nnA_n1)x_n=b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1=D₁

По свойствам 3, 10, 9 определителя имеем: где D₁ равен определителю матрицы, полученной из А заменой первого столбца столбцом свободных членов, т.е.

Т.О. (1.10) можно записать так:

Аналогично, умножая (1.10) соответственно на А₁₂, А₂₂, …, А_n2 и, складывая почленно, получим:

, где

Продолжая этот процесс, получим систему уравнений:

11)

где D_j(j=1, n) – определитель матрицы, полученный из А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Теорема (Крамера): Если определитель системы (1.9) отличен от нуля D¹ 0, то система (1.9) имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

Д-во:

Формулы (1.12) выражают правило нахождения решения системы (1.9) в случае, когда Det A ¹ 0. Это правило называется правилом Крамера.

Если Det A = D = 0 и по крайней мере один из определителей D₁, D₂, …, D_n отличен от нуля то система (1.9) является несовместной.

Необходимым условием неопределенности системы (1.9) является D₁ = D_{2 =} … = D_n = 0

Д-во: подставим (1.12) в каждое уравнение системы (1.9) в левую часть:

Пример: решить систему методом Крамера:

ІІІ Алгоритм Гаусса.

При больших n вычислять определители, исходя из их определения весьма затруднительно. Поэтому правилом Крамера пользуются в случае небольшого n (n=3).

На практике часто используют бестерминантный способ решения линейных алгоритмических систем уравнений, основанный на методе исключения Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем.

Из всех уравнений системы (1.9), начиная со второго, исключаем х₁. Для этого ко второму уравнению почленно прибавляем первое уравнение, помноженное на к третьему почленно прибавляем первое, помноженное на и т.д. В результате получим систему уравнений:

которая эквивалентна (1.9). При этом

Далее первые 2 уравнения оставляют без изменения и из последних (n-2) уравнений исключают х₂.

Получаем систему:

Продолжая этот процесс исключения, придем к следующей системе:

эквивалентной (1.9)

Алгоритм Гаусса выполним, если числа

Для решения системы (1.15) необходимо из последнего уравнения определитель х_n и подставить его в (n-1)-e уравнение, из которого определитель х_n-1. Далее необходимо найденные значения х_n и

х_n-1подставить в (n-2)-e уравнение и определитель х_n-2. Продолжая этот процесс, найдем решение х₁, х₂, …, х_n системы (1.15), а следовательно и системы (1.9).

Вывод: сущность метода Гаусса состоит в приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду и вместо их системы рассмотрим ступенчатую систему уравнений, равносильную данной.

Пример:

х₁=1; х₂=3; х₃=-1.