Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица

Рассмотрим матрицу А=(А_ij)ⁿ, элементами которой являются алгебраические дополнения А_ij соответствующих элементов а _ij матрицы А.

О-Е: Матрица , называется симметрической, если

О-Е: Присоединённой (или союзной) матрицей по отношению к матрице А называется матрица А^s, которая определяется равенством A^s=A^T

Свойство присоединенной матрицы:

(2.3) АА^S=A^SA=DE, где D=detA, а Е – единичная матрица. Т.О. А и А^S являются перестановочными.

Действительно, в силу известных свойств определителя имеют место равенства:

О-Е: Пусть А=(а_ij)ⁿ, -матрица n-го порядка. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если: А А^-1= А^-1А=Е;

О-Е: Матрица А называется особенной, если определитель этой матрицы равен нулю. В противном случае матрица называется неособенной (т.е. detА¹ 0).

Теорема: Для того, чтобы матрица имела обратную ó чтобы она была неособенной.

Д-во: Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А^-1, тогда

А А^-1=Е => det(А А^-1)= detE

По теореме Лапласа и по формуле(2.1) имеем:

detА* detА^-1=1=> detА¹ 0, => А – неособенная, т.е. detА¹ 0,

Достаточность: покажем, что матрица является обратной по отношению к матрице А.

В силу (2.3) имеем: В силу единственности обратной матрицы, можно записать . (2.4) чтд.

Т.О. мы не только доказали существование обратной матрицы А^-1 если А -неособенная, но и получили формулу (2.4) нахождения обратной матрицы.

Т.О. чтобы найти обратную к А матрицу А^-1, необходимо сначала вычислить определитель данной матрицы и алгоритмическое дополнение А_ij всех ее элементов, после этого в формулу (2.4) вместо Д и

подставить их значения