В.Б. Баранов

Спецкурс (полугодовой)

«Магнитная гидродинамика»

для студентов V курса механико-математического факультета МГУ.

Лекция 1 02.10.15

В рамках механики сплошных сред магнитная гидродинамика изучает движение электропроводных жидкостей и газов, помещенных в электромагнитное поле. К таким жидкостям и газам относятся, например, жидкие металлы или сильно ионизованные при высокой температуре газы (так называемая «плазма», которая может быть как частично, так и полностью ионизованной). Магнитная гидродинамика имеет широкое применение как в астрофизике для создания моделей физических явлений, встречающихся в условиях космического пространства (солнечный ветер, взаимодействие с ним межзвездной среды, планет и комет солнечной системы, динамические процессы в галактиках и пр.), так и в практических применениях (магнитогидродинамические генераторы и плазменные ускорители, насосы для перекачки жидких металлов и т.п.).

Часто уравнения механики сплошной среды выводятся из кинетических уравнений Больцмана для функции распределения f(r, v, t), которые устанавливают четкие критерии применимости этих уравнений (здесь r, v и t – координата, скорость и время отдельной частицы, соответственно). В частности, должно выполняться неравенство l < < L или Kn = l/L < < 1, где l – длина свободного пробега частиц газа, L - характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела), Kn – число Кнудсена. Чтобы понять, как движутся частицы в электрическом E (вектор напряженности электрического поля) и магнитном B (вектор магнитной индукции)полях, рассмотрим уравнение движения заряженной частицы с зарядом и массой , которое будет иметь вид

(1)

Здесь введена скорость света , так как используется гауссовская система единиц измерения, где векторы E и B имеют одинаковую размерность, а их квадрат имеет размерность гидростатического давления . Если уравнение (1) просуммировать по всем частицам в элементарном объеме , то для электромагнитной силы , действующей на единицу массы этого объема, получим формулу

при

или

, (2)

где называется плотностью заряда, а есть плотность электрического тока в жидком объеме . Здесь - концентрация частиц сорта α, а - их средняя скорость. Силу (2) необходимо добавить в макроскопические уравнения движения для электропроводной жидкости или газа.

Рассмотрим теперь движение отдельной частицы в постоянных электрическом и магнитном полях. Для этого проинтегрируем уравнение движения (1) в предположении, что магнитное поле направлено вдоль оси Оz, а электрическое поле лежит в плоскости Оуz, т. е. B = (0, 0, B ), а Е = . Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем

. (3)

Умножая второе уравнение (3) на i и складывая эти уравнения, получим

,

где - циклотронная частота или частота вращения заряженных частиц в магнитном поле. Интегрируя это уравнения, получим

или

(4)

В уравнениях (4) a – постоянная интегрирования, - скорость частицы вдоль оси Оz в начальный момент времени. Отсюда видно, что частица движется вдоль оси Оx перпендикулярно направлению электрического и магнитного полей с постоянной скоростью (в среднем по времени), равной

Эта скорость называется «скоростью дрейфа» частицы в электрическом и магнитном полях. При этом, , а вдоль оси Оz частица движется с ускорением, если

Интегрирование первых двух уравнений (4) приводит к уравнениям

При эти уравнения описывают траекторию, которая будет трахоидой, а в случае - циклоидой.

Следует заметить, что уравнения классической магнитной гидродинамики (см., например, Куликовский А.Г. и Любимов Г.А., «Магнитная гидродинамика», Физматгиз, 1962) не учитывают эффекты вращения заряженных частиц в магнитном поле, поскольку считается, что , где - частота их столкновений с другими частицами газа, и эффект их вращения пренебрежимо мал.

Лекция 2 07.10.15

Уравнения гидроаэромеханики выводятся либо макроскопическим методом, используя понятие сплошности среды, либо методом моментов, используя уравнение Больцмана для функции распределения частиц. Для получения уравнений магнитной гидродинамики будем использовать первый подход.

Рассмотрим элементарный жидкий объем , ограниченный поверхностью . При своем движении такой объем состоит из одних и тех же частиц, хотя и изменяет свою форму. Очевидно, что для такого объема должны быть выполнены законы сохранения массы, импульса и энергии. Запишем их в интегральной форме, справедливой как для непрерывных, так и для разрывных функций. Закон сохранения массы будет иметь вид

,

где - массовая плотность газа.

Закон сохранения импульса является обобщением второго закона Ньютона применительно к выделенному жидкому объему и имеет вид

,

где - средняя скорость электропроводной жидкости (или газа), а - поверхностная сила, действующая на элемент поверхности жидкого объема с нормалью и может быть представлена, как известно из МСС, в виде суммы нормального и касательного напряжений ( - статическое давление, - тензор вязких напряжений). В качестве объемной силы мы будем в нашем курсе рассматривать только электромагнитную силу (см. формулу (2) Лекции 1).

Закон сохранения энергии запишем в виде

Здесь - внутренняя энергия, первые два члена справа представляют собой работу поверхностных сил, третий член – приток тепла через поверхность , определяемый вектором потока тепла , четвертый член – работа объемных электромагнитных сил, последний член – выделение тепла (так называемое джоулево тепло) за счет протекания электрических токов (штрих означает, что плотность тока и электрическое поле взяты в системе координат, связанной с движущейся жидкостью).

Если воспользоваться формулой для производной по времени от интеграла по движущемуся объему, а, именно, формулой

,

в выписанных выше законах сохранения преобразовать поверхностные интегралы в объемные, то в результате получим уравнения неразрывности, движения и энергии в интегральной форме. Они будут иметь вид

В последнем члене уравнения сохранения энергии использованы преобразования Лоренца в нерелятивистском приближении (принять на веру)

.

Если сплошная среда состоит из частиц только с поступательными степенями свободы, то компоненты тензора вязких напряжений будут иметь вид

,

где µ - коэффициент вязкости. Для тепловых потоков обычно используется закон Фурье

,

где - коэффициент теплопроводности, Т - температура.

В пренебрежении вязкостью и теплопроводностью из интегральных законов сохранения, выписанных выше, для непрерывных подынтегральных функций получим дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии в виде

(*)

В гидроаэромеханике известно, что для совершенного газа внутренняя энергия определяется по формуле

,

а температура связана со статическим давлением уравнением состояния

().

Здесь - теплоемкости при постоянном давлении и объеме, соответственно.

Выписанная выше система уравнений была бы замкнутой для величин . Однако, в электропроводных жидкостях и газах протекание электрических токов создает электромагнитное поле, которое, как видно из выписанных выше уравнений, влияет на течение жидкости и газа. В то же время, электрическое и магнитное поля зависят от течения электропроводных сред. Добавляются заранее неизвестные . Для последних трех величин необходимо дописать уравнения Максвелла и добавить к ним закон Ома (он известен из школьной программы), связывающий плотность тока и электрическое поле.

Лекция 3 14.10.15

Как было отмечено в прошлой лекции, полученная система уравнений магнитной гидродинамики не является замкнутой, поскольку появились новые неизвестные функции . Необходимо добавить уравнения для этих неизвестных.