Течение вязкой жидкости в плоском канале в присутствии поперечного магнитного поля (обобщение плоского течения Пуазейля).

Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными пластинам. Пластины находятся на расстоянии y ± а от оси O x, вдоль которой течет жидкость под действием перепада давления вдоль этой оси. В отличие от плоского течения Пуазейля, в направлении, перпендикулярном пластине, приложено внешнее магнитное поле B, а жидкость считаем электропроводной. Все параметры, как и в течении Пуазейля, являются функциями только координаты y (кроме давления, градиент которого вдоль оси O x создает течение жидкости). В этом случае уравнение неразрывности div V= 0 удовлетворяется тождественно, а из уравнения div B = 0 следует

Проекция уравнения движения на ось O x дает

(2)

где последний член представляет собой силы вязкости. Поскольку левая часть уравнения (2) есть функция только координаты x, а правая зависит только от координаты y, то Р =const. Проекция уравнения индукции магнитного поля (1) приводит к уравнению

(3)

Систему уравнений (2) и (3) будем решать при обычных граничных условиях прилипания для скорости и равенства нулю индуцированной x – компоненте магнитного поля

u = 0, B _x= 0 при x = ± a. (4)

Решением уравнений (2) и (3) при граничных условиях (4) будет

(5)

Здесь u ₀– максимальная скорость жидкости на оси симметрии, , а G - число Гартмана, определяющее отношение электромагнитной силы к вязкой и определяется формулой

Это выражение легко получить, оценивая отношение этих сил по порядку величины

При уменьшении числа Гартмана влияние магнитного поля уменьшается. При этом очевидно, что

т.е. в предельном случае отсутствия магнитного поля получается классическое течение Пуазейля.

Лекция 11 и 12. 16.12.15

В конце Лекции 1 было отмечено, что в классической магнитной гидродинамике, которая рассматривалась во всех остальных наших лекциях, не учитывается вращение заряженных частиц в магнитном поле. Этим вращением можно пренебречь только в том случае, если время их свободного пробега (время между их столкновениями) много меньше периода полного оборота вокруг направления магнитного поля. Ниже мы рассмотрим влияние такого движения на макроскопическое движение электропроводных жидкостей и газов.

Для простоты рассмотрим полностью ионизованный водородный газ, состоящий из электронов и протонов, который обычно называется полностью ионизованной водородной плазмой. Из Лекции 1 очевидно, что в этом случае плотность заряда и плотность электрического тока определяются формулами

(1)

Здесь n _e, n _p, V _eи V _pплотности и скорости электронов и протонов, соответственно. Вывести уравнения для макроскопических скоростей электронов и протонов можно на основе кинетических уравнений Больцмана для электронов и протонов, используя метод моментов. Однако мы используем метод двух взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, состоящих из электронов и протонов. Законы сохранения массы импульса и энергии можно получить из интегральных соотношений, как мы это делали в Лекции 2. Уравнения движения для электронов и протонов, при этом, будут иметь вид (для простоты, не будем учитывать вязкость электронов и протонов)

Здесь

R_α – сила «трения», которая определяет взаимодействие между двумя континуумами. Очевидно, что при этом имеет место соотношение

R _е + R _р = 0. (2)

Из кинетической теории газов в предположении максвелловской функции распределения по скоростям, а, качественно, из физических соображений выражение для обмена импульсами между компонентами можно записать в виде

(3)

где τ _е – время свободного пробега электронов.

Из выписанных выше уравнений движения для электронов и протонов с учетом (2) можно получить обобщенный закон Ома, который будет отличаться от аналогичного закона, полученного в Лекции 4 (уравнение (6)). Действительно, умножим уравнение движения для электронов на - e / m _e, а уравнение движения для протонов на e / m _eи сложим полученные уравнения, пренебрегая членами, в которых в знаменателе стоит m_p по сравнению с членами, где в знаменателе стоит масса электрона. В результате будем иметь

(4)

Конечно, здесь предполагается, что имеет место квазинейтральность (n_e≈ n_p), а (р_е ~ р_р). Поскольку для средней скорости плазмы имеем

вследствие m_e < < m_p, то, вместо уравнения (4), получим, если еще учесть определение (1) для плотности тока,

Отношение левой части этого уравнения к последнему члену правой части имеет порядок величины, равный τ _e / t^*, где t ^*– характерное время задачи. В гидродинамике это время должно быть велико по сравнению с временем свободного пробега частиц, т. е. должно выполняться неравенство τ _e / t ^*< < 1. Пренебрегая при этом левой частью последнего уравнения, окончательно получим

(5)

где ϭ – электропроводность. Для полностью ионизованной плазмы она определяется формулой

Обобщенный закон Ома (5) отличается от аналогичного закона в магнитной гидродинамике (уравнение (6) в Лекции 4) последним членом правой части. Его отношение к левой части этого уравнения имеет порядок ω _eτ _e, где ω _e – циклотронная частота вращения электронов вокруг направления магнитного поля (см. Лекцию 1). При ω _eτ _e ≥ 1 этот член важен и определяет так называемые токи Холла. Для того, чтобы последнее неравенство выполнялось в лабораторных условиях, необходимо в соответствующих установках создавать достаточно сильные магнитные поля. Это неравенство почти всегда удовлетворяется в условиях космической плазмы. Уравнение (5) показывает, что электрический ток в этом случае может течь не только в направлении электрического поля, но и в перпендикулярном к нему направлении. Такие токи и называются токами Холла, а электропроводность становится анизотропной относительно магнитного поля.

Анизотропными относительно направления магнитного поля становятся в этом случае также вязкость и теплопроводность. Приведем пример, связанный с теплопроводностью. Как известно из газовой динамики, потоки тепла пропорциональны градиенту температуры (закон Фурье), а коэффициент теплопроводности зависит от термодинамических параметров. В случае, если газ, состоящий из заряженных частиц, помещен в магнитное поле, то частицы вращаются вокруг направления магнитного поля. Если выполняется условие ω _eτ _e ≥ 1, то, как видно из приложенного рисунка, частицы, пересекающие выделенную площадку на оси Ox сверху, приходят из области с меньшей температурой (магнитное поле перпендикулярно плоскости рисунка), чем частицы, пересекающие ее снизу. В результате столкновений частиц возникают потоки тепла, перпендикулярные как градиенту температуры, так и направлению магнитного поля. При этом очевидно, что магнитное поле, параллельное градиенту температуры, не изменит потоков тепла, которые направлены вдоль этого градиента. Аналогичные соображения приводят и к анизотропии вязкости в магнитном поле.

ЛИТЕРАТУРА

1. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М. Физматгиз. 1962.

2. Баранов В.Б., Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. М. Изд. «Наука», 1976

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М. ГИТТЛ, 1957