![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сильные разрывы в магнитной гидродинамике.
Сильными разрывами называются такие поверхности, на которых рвутся искомые магнитогазодинамические параметры. Для того, чтобы вывести соотношения на таких разрывах, необходимо записать законы сохранения в интегральной форме. В Лекции 2 эти законы были выписаны в общем случае, в котором учитываются все диссипативные процессы (вязкость, теплопроводность, джоулевы потери вследствие выделения тепла при протекании электрических токов). Поверхности сильного разрыва являются идеализацией, в которой эти процессы не учитываются. В природе эти процессы приводят к образованию тонких областей, в которых параметры газа изменяются непрерывно. Малая толщина этих областей и приводит к упомянутой выше идеализации. Поэтому ниже мы будем рассматривать поверхности сильного разрыва в рамках идеальной магнитной гидродинамики. Тогда законы сохранения массы, импульса и энергии в интегральной форме будут, соответственно, иметь вид Воспользовавшись формулой для производной от интеграла по движущемуся объему и предположив, что течение стационарно (система координат связана с поверхностью сильного разрыва), из последних уравнений получим При получении дифференциальных уравнений магнитной гидродинамики было предположено, что подынтегральные функции непрерывны, а переход от интегралов по поверхности к интегралам по объему позволил получить эти уравнения. Уравнения, выписанные выше, справедливы и для разрывных функций. Чтобы получить соотношения на сильных разрывах, перейдем в последних уравнениях от интегралов по объему к интегралам по поверхности ∑. Для уравнения неразрывности получим Если разность подынтегральных функций с двух сторон от поверхности сильного разрыва ∑ обозначить через фигурные скобки, как это мы делали для слабых разрывов, то из последнего уравнения получим закон сохранения массы
Закон сохранения импульса в интегральной форме будет иметь вид а для разрывов в проекции на нормаль и касательную к поверхности ∑
В (2) и (3) учтено, что [ B n]=0. Выпишем теперь закон сохранения энергии
Сделаем некоторые преобразования в последнем члене этого уравнения. Имеем где справа - вектор скорости в направлении, нормальном вектору индукции магнитного поля. Очевидно, что уравнение индукции магнитного поля в идеальной магнитной гидродинамике предполагает, что
Действительно, взяв операцию rotот этого равенства и воспользовавшись одним из уравнений Максвелла, получим уравнение (11) Лекции 4. Выразим теперь V через В из (5). Получим
Подставив это выражение в последний член (4), воспользовавшись уравнениями Максвелла для стационарного случая и векторными тождествами получим Подставляя это выражение в последний член (4) и переходя от объемного интеграла к интегралу по поверхности, будем иметь Тогда закон сохранения энергии на поверхности сильного разрыва будет иметь вид
В электродинамике последнему члену в (6) придают смысл плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова-Пойнтинга). Прежде, чем перейти к классификации поверхностей сильного разрыва, несколько преобразуем этот член, используя (5).
Этот вектор в проекции на нормаль к поверхности разрыва будет иметь вид где индекс «τ» означает проекцию вектора на касательную к поверхности разрыва. Подставив последнее выражение в (6), окончательно закон сохранения энергии на поверхности сильного разрыва будет иметь вид
Необходимо еще добавить непрерывность касательной составляющей электрического поля, которое следует из rot E= 0, и равенства (5)
а также непрерывность нормальной компоненты магнитного поля
которое следует из div B = 0. Таким образом, мы получили систему уравнений (1) - (3), (7) – (9), которая определяет изменение параметров при пересечении поверхности сильного разрыва.
Лекция 9 09.12.15 Классификация поверхностей сильного разрыва. Введем обозначение m = ρ Vn для потока массы через поверхность разрыва. Классификация сильных разрывов зависит от наличия через них потока массы. Рассмотрим сначала первый случай, когда поток массы отсутствует, т.е.
Очевидно, что в этом случае нормальная компонента скорости равна нулю. Тогда из закона сохранения импульса в проекции на нормаль (соотношение (2) прошлой лекции) получим
а из проекции на касательную (соотношение (3) прошлой лекции) будем иметь
Непрерывность касательной составляющей электрического поля дает (соотношение (8) прошлой лекции)
а из закона сохранения энергии будем иметь
Последние соотношения получены при учете непрерывности нормальной компоненты магнитного поля. Таким образом, случай отсутствия потока массы через поверхность сильного разрыва сводится к анализу соотношений (2) – (5). Рассмотрим два возможных варианта. а) Нормальная компонента магнитного поля равна нулю, т.е. B n= 0.
б) Нормальная компонента магнитного поля не равна нулю, т.е. B n≠ 0. В этом случае, как видно из (3) - (5), скорость и магнитное поле непрерывны. Из (1) следует, что и гидростатическое давление непрерывно. Остальные термодинамические параметры (плотность, температура, внутренняя энергия) могут иметь произвольный разрыв. Такой разрыв называется контактным разрывом. Такому разрыву нет аналога в обычной гидродинамике, хотя часто в отсутствие магнитного поля тангенциальный разрыв называют контактным (например, в ударных трубах, где нет тангенциальной составляющей скорости).
|