ХIХ ғасырдағы математиканың дамуы

X1Xғ асырдың бірінші жартысында математикағ а ү лес қ осқ ан Гаусс, Коши, Галуа, Абель, Бояи, Лобачевский сияқ ты математиктер.

Он сегізінші жә не он тоғ ызыншы ғ асырларда математика патшасы атанғ ан Карль Фридрих Гаусс болды. Ол 1777 ж. немістің Брауншвейг қ аласында қ арапайым семьяда туғ ан. 1795-1798 жылдары Гаусс Геттингенде оқ иды да, 1799 ж. Хельмштедте бірден докторлық дә реже алады. 1807-1855 жылдарда астрономиялық обсерваторияның директоры жә не университет профессоры болып істейді.

Гаусс жастайынан математикағ а кө птеген жаң алық тар ашады. Ол 1795 ж. Эйлердің тә уелсіз сандар теориясындағ ы квадраттық арақ атыс заң ын табады. Оның кө птеген жаң алық тары 1799 жылғ ы докторлық диссертациясында жә не 1801ж. «Арифметикалық зерттеулерінде» жазылғ ан. Диссертацияда тең деудің дә реже кө рсеткішінде қ анша бірлік болса, сонша тү бірі болатыны туралы теорема келтірген.Гаусс «Арифметикалық зерттеулерінде» негізгі орынғ а квадраттық формалар мен қ алың дылар (вычет) теориясы, екінші дә режелі салыстыруларды қ ойғ ан. Бұ л ең бектегі басты жетістік- квадраттық арақ атынас заң ы.Гаусс математикалық есептеулерін астрономияда қ олданғ ан. 1801 ж. астрономдар Пиации мен Палермо жаң а планетаны (астреоидты) Церераны ашады. Гаусс жаң а планетаның орбитасын есептеуді сегізінші дә режелі алгебралық тең деу тү рінде шешеді. 1802ж. екінші астероид Паллада ашылады. Осығ ан байланысты Гаусстың эллипсоидтардың тартылуы жә не механикалық квадратуралар жә не ғ асырлық ұ йытқ улар туралы «Аспан денелері қ озғ алысының теориясы» атты ең бегі шығ ады.

Гаусс 1820 жылдан соң геодезиямен айналысады. Осы кездегі ең маң ыздысы – «Қ исық беттерге қ атысты жалпы зерттеулер» атты ең бегі. Мұ нда ол геометриялық практиканы теориямен байланыстырады. Геодезиямен бірге Гаусс сандар теориясымен де айналысады. Гаусс ө зінің «Арифметикалық зерттеулерінде» комплекс сандар теориясын қ олданады. Комплекс сандарды жазық тық нү ктелерімен кескіндейді. Гаусс биевклидтік геометрияның негізін қ алаушы болып табылады.

XIX ғ асырдың бірінші жартысында Францияда бірнеше ірі матемкатиктер топтасады. Олардың ішінде Огюстен Коши де бар. Кошидің атақ ты екі жаң алығ ы болды: бірі-комплекс айнымалы функциялар теориясы, екіншісі-математикалық анализдің қ атаң дығ ы.

Комплекс айнымалы функциясы Кошиге дейін де енгізілген. Бірақ ол Даламбер ұ ғ ымын пайдаланып, геометриялық қ атарларды алғ ашқ ы болып зерттейді, функция туындысын анық тайды. Шектің анық тамасы бойынша болғ анда шегін келтіреді. Шексіз аз айнымалыны шегі нө лге тең болатын айнымалы сан ретінде қ арастырады. Қ атардың жинақ ылығ ының белгісі де Кошидің атымен аталады. Дифференциалдық тең деулер мен жү йенің шешімінің бар болуын Коши алғ ашқ ы болып дә лелдеген. Математик Эварист Галуа 1811 жылы Париж қ аласында дү ниеге келген. Галуа топтар теориясын баяндағ ан. Галуа теориясында кез-келген дә режелі алгебралық тең деулерді шешу, кубты екі еселеу жә не биквадрат тең деулерді шешу қ аралғ ан. Галуаның абель интегралдары деп аталатын бір айнымалының алгебралық функцияларының интегралдары туралы да жаң алық тары бар.

Он тоғ ызыншы ғ асырда шық қ ан Норвегиялық математик Нильс Генрих Абель болды. Студент кезінде ол бесінші дә режелі тең деуді шешіп, кейін қ атесін табады. Бұ л Абелдің атақ ты ең бегі болды. Осы ең бегі ү шін арнайы степендия алды. Абель қ атарлар жиыны туралы ең бек жазды. Оның интегралдық тең деу, абелдік функциялар туралы абельдік теоремасы да бар. Геометрия саласында да кө птеген жұ мыстар істеген. Проективтік геометрияны дамытуғ а ө з ү лесін қ осты. Биевклидтік геометрия - қ азіргі математиканың туып, қ алыптасуындағ ы ерекше мә ні бар жаң алық. Ү лкен жетістіктерге жеткен Гаусс, Бояи жә не Н.И.Лобачевскийдің есімдерін атауғ а болады.

Биевклидтік геометрияны жасаушылар орыстың ұ лы математигі Н.И.Лобачевский мен венгрлік Янош Бояи болды. Бояи Евклидтің бесінші постулатына келесі жаң алық ты ашты: «Жазық тық та берілген тү зуге ондағ ы басқ а нү кте арқ ылы ол тү зумен қ иылыспайтын шексіз кө п тү зу жү ргізуге болады деген басқ а аксиомағ а негізделген Евклидтік емес жаң а геометрияны қ ұ руғ а болады екен». Бұ л Гаусс пен Лобачевскийдің идеясы еді.

Орыс халқ ының данышпаны Н.И.Лобачевский миллиондар табынғ ан Евклидпен сайысқ а тү сіп, «геометрия атасының» ө зінен озып кетті. Россияда тұ ң ғ ыш рет ү лкен математиканың туын тігіп, бү кіл елге танытты. Дү ние жү зінде геометрия негіздемелері мен Лобачевскийдің геометриясы жө нінде жеті мың дай кітап бар. Н.И.Лобачевский математиканың ә р тү рлі салаларында ең бек етіп, кө птеген жаң алық тар енгізді. Математикалық анализде функция ұ ғ ымын терең детті, сан қ атарларының бір жинақ ылық белгісін тағ айындады, тригонометриялық қ атарлар теориясын жетілдірді, бірнеше анық талғ ан меншіксіз интегралдың мә нін есептеп шығ арды. Лобачевскийдің «Алгебрасы» сол кездегі жоғ ары алгебраның ең жақ сы жә не толық оқ улық тарының бірі болды. Ол куб тең деуді шешудің жаң а жолын кө рсетті, ық тималдық тар теориясынан да мақ ала жазды..

Н.И.Лобачевский геометриясының кейбір принцптік ерекшеліктерін атап ө тейік:

Ү лкенді-кішілі ұ қ сас фигуралар мү лде болмайды.

Ү шбұ рыштың ішкі бұ рыштарының қ осындысы-айнымалы шама, ол ә рдайым екі тік бұ рыштың қ осындысынан кем болып отырады.

Пифагор теоремасы дә л емес, ол тік бұ рышты ү шбұ рыштың қ асиетін жуық тү рде ғ ана сипаттайды.

Ешқ андай ү шбұ рыштың ауданы шамадан аса алмайды.

Дө ң гелектің ауданы радиусының квадраты мен санының кө бейтіндісіне жуық тү рде ғ ана тең болады.

Кейбір ү шбұ рыштарды сырттай шең бер сызуғ а болмайды.

Қ арастырылатын фигура ү лкен болғ ан сайын евклидтік геометрия мен Лобачевский геометриясының арасындағ ы алшақ тық арта тү седі, ал фигура кішірейген сайын кемиді де, екі геометрия біріне-бірі жақ ындай береді.