Ньютон әдісі

Алдың ғ ы ә дістерге қ арағ анда бастапқ ы жуық тау дұ рыс таң далынып алынса Ньютон ә дісі тез жинақ талады. Бұ л ә діске қ атысты теореманы келтіре кетейік:

Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a, b] аралығ ында анық талғ ан жә не екі ретті туындысы бар, осы аралық та тү бір жатыр f(a)*f(b)< 0, туындылардың таң балары осы аралық та тұ рақ ты болса f(x)*f^'(x)> 0, онда f(x₀)*f^''(x₀)> 0 тең сіздігін қ анағ аттандыратын бастапқ ы жуық таудан бастап (2.1)-ші тең деуді қ анағ аттандыратын [a, b]-да жататын жалғ ыз шешімге жинақ талатын итерациялық тізбек қ ұ руғ а болады.

Ньютон ә дісінің геометриялық мағ ынасы: координаталары (x_n; f(x_n)), болатын нү ктеден қ исық қ а жанама жү ргізсек, оның ох ө сімен қ иылысу нү ктесі тең деудің тү біріне х_n+1 – кезекті жуық тау болып табылады.

Тү бірге n-ші жуық таудың қ ателігін бағ алау ү шін келесі тең сіздіктің орындалуын қ адағ алау керек: . Мұ ндағ ы М₂ – функцияның екінші ретті туындысының аралық тағ ы максимумы, m₁- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғ ни тү бірге дұ рыс жуық талынса, ә р итерациядан кейін кезекті жуық таудың ондық таң ба саны екіге артады да процесс тез жинақ талады. Егер тү бірді берілген е дә лдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғ анша жалғ астырамыз.