Зейдель әдісі

(3.31)– жү йе (3.32) – итерациялық тү рге келтірілсін. Бұ л жү йені қ арапайым итерация ә дісімен шешкенде итерациялық процесстің ә р қ адамы белгілі бастапқ ы жуық таудан белгісіздің жаң а жуық тауына кө шуден тұ ратын еді. Белгілі бастапқ ы жуық таудың элементтерін x₁, x₂, …, x_n деп, ал есептелетін келесі жуық тауларды y₁, y₂, …, y_n деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі тү рге кө шеді:

(3.46)

Зейдель ә дісінің негізгі идеясы итерациялық процестің ә р қ адамында y_i-дің мә ндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y₁, y₂, …, y_i-1 мә ндері қ олданылады да (3.46)– ны ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:

(3, 47)

(3, 47)– итерациялық процесінің жинақ тылығ ы ү ш метрикалық кең істікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:

кең істікте

шарты (3.48)

кең істікте

шарты (3.49)

кең істікте

шарты (3.50)

Егер бұ л шарттардың біреуі орындалса, (3.47)– итерациялық процесс кез келген бастапқ ы жуық тауда ө зінің жалғ ыз шешіміне жинақ талады.

Зейдель ә дісін жү йенің матрицасы симметриялы элементтерден тұ рғ ан жағ дайда қ олданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы тү рге келтіру ү шін жү йенің матрицасын жә не векторларын транспонирленген матрицағ а кө бейтеді:

А^Т*А*х=A^T*b (3.51)

Белгілеулер енгіземіз:

A^T*A=C

A^T*b=D

Сонда

Cx=D (3.52)

(3.52) – жү йені қ алыпты жү йе деп атайды. Қ алыпты жү йенің элементтері симметриялы жә не диагональды элементтері нө лден ө згеше болады. Қ алыпты жү йені алдында қ арастырғ ан амалдарды қ олданып (3.47)– итерациялық жү йеге келтіруге болады.

(3.52) – қ алыпты жү йеге эквивалентті (3.47)– келтірілген итерациялық жү йе ү шін Зейдельдің итерациялық процесі ө зінің жалғ ыз шешіміне кез келген бастапқ ы жуық тауларда жинақ талады.

Егер е дә лдік берілсе, итерациялық ә діс , i=0, 1, 2, … шарты орындалғ анғ а дейін жалғ асады.

1-мысал:

Берілген жү йе ү шін матрицасын, транспонирленген матрицасын қ ұ рып, жоғ арыда айтылғ ан ә рекеттерді орындаймыз:

, , .

. .

Сонымен анық талғ ан матрица бойынша қ алыпты жү йе қ ұ раймыз:

Итерациялық тү рге келтіреміз:

Бұ л жү йе ү шін (3.48)– (3.50)– жинақ тылық шарттары орынды. Ендеше бастапқ ы жуық тау таң даймыз: х₁=1, х₂=1, х₃=1.

Зейдель процесі келесідей жазылады:

Есептеу , i=0, 1, 2, … шарты орындалғ анғ а дейін жалғ асады.

2.5 Қ уалау ә дісі

Математикалық физиканың есептері кө бінде ү ш диагональді сызық ты алгебралық тең деулер жү йесінің шешімін табуғ а шектеледі, ү ш диагоналді сызық ты алгебралық тең деулер жү йесінің тең деулерінде тек қ ана ү ш айнымалылардың коэффициенттері нө лге тең емес, қ алғ ан коэффициенттер нө лге тең.

(18)

Сондай жү йенің матрицасы ү ш диагоналді:

Ү ш диагоналді сызық ты алгебралық тең деулер жү йесін шешу тиімді ә дісі болып қ уалау ә дісі табылады.

Қ уалау ә дісінің бірінші кезең і – тура қ уалау. Қ уалау коэффициенттері келесі формулалармен табылады:

. (19)

Қ уалау ә дісінің екінші кезең і – кері қ уалау. Кері бағ ытта функцияның мә ндері табылады:

. (20)

Қ уалау ә дісін қ олдану ү шін ә дістің жинақ тылығ ы болуы керек. Жиынактылық шарты:

. (21)