Арапайым итерация әдісі

(3.31)

(3.31)- жү йені қ андай да бір амалдар қ олданып келесі тү рге келтірейік,

(3.32)

немесе қ ысқ аша жазсақ:

(3.32) – жү йенің оң жағ ы n - ө лшемді векторлық кең істікте x(x₁, x₂, …, x_n) нү ктесін осы кең істіктің y(y₁, y_{2, …,} y_n) нү ктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:

(3.33)

(3.32) – жү йені қ олданып, бастапқ ы нү ктені таң дап алып n - ө лшемді векторлық кең істікте нү ктелердің итерациялық тізбегін қ ұ руғ а болады:

(3.34)

(3.34) – итерациялық тізбек жинақ ты болса, оның шегі (3.32) итерациялық жү йенің шешімі болады.

1- мысал:

-7х₁+4х₂ - 4х₃=-8

2х₁ - 6х₂ - х₃=-5

-2х₁ - х₂ +6х₃=3

Бұ л жү йе матрицасында диагональдық басымдылық бар. (3.39) – (3.41) – шарттардың орындалуын ұ йымдастыру керек. Ол ү шін жү йенің матрицасын жә не бос мү шелер векторын

матрицасына кө бейтейік:

.

Бұ л жү йе ү шін жинақ тылық шарттар орындалады. Сондық тан жү йені итерациялық тү рде жазамыз:

Итерацияның бастапқ ы жуық таулары ретінде бос мү шелерін алайық: . Келесі жуық таулар мына формуламен есептеледі:

, k=0, 1, 2, …, n

2-мысал:

Мұ ндағ ы тең деулерді қ олдануғ а оң ай болуы ү шін рим цифрларымен белгіледік. Диагональдық басымдылық ты алу ү шін (I) – тең деудің орнына (II) – тең деуді, ал 2-ші тең деу етіп (I+II) – тең деуін жазамыз, (III) – тең деудің орнына (I) тең деуді жазамыз:

Бұ л жү йеде диагональдық басымдылық бар. Сондық тан итерациялық тү рге келтіру ү шін жү йенің ә р тең деуін мү шелеп диагональдық элементіне бө леміз де коэффициенті 1-ге тең белгісіздер арқ ылы ө рнектейміз:

Жинақ тылығ ын зерттейміз:

1-ші метрикалық кең істікте:

жинақ тылық шарты бұ л кең істікте орындалмайды екен.

2-ші метрикалық кең істікте:

жинақ тылық шарты орындалды.

3-ші метрикалық кең істікте:

Жинақ тылық шарты орындалатыны байқ алды, яғ ни бастапқ ы жуық таулар ретінде бос мү шелерді алып итерациялық процесс қ ұ рамыз:

; ; ;

k=0, 1, 2, …

шарты орындалғ анша итерация жү реді.