Проектирование (синтез) систем с заданными параметрами

Проектирование (синтез) систем автоматического управления с заданными параметрами легче всего осуществить с помощью логарифмических частотных характеристик методом построения желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЖЛАХ) разомкнутой системы. Понятие о желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристике было введено В.В. Солодовниковым. Поясним суть данного метода. Обычно при проектировании системы управления часть звеньев этой системы уже имеется, т.е. их параметры заданы. К таким звеньям чаще всего относятся дискриминатор и объект управления вместе с нагрузкой. Итак, заданы параметры отдельных звеньев системы. Требуется спроектировать систему управления, обладающую определенными (заданными) параметрами: полосой пропускания, временем регулирования, показателем колебательности, показателями точности и т.д.

Решение задачи синтеза системы автоматического управления начинается с построения логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик разомкнутой системы, состоящей из заданных звеньев (дискриминатора, объекта управления вместе с нагрузкой и т.д.). Производится анализ полученных результатов с точки зрения устойчивости системы в замкнутом состоянии и выполнения требований задания по соответствующим показателям (полоса пропускания, время регулирования и т.д.). Обычно ни одно из этих требований (очень часто даже по устойчивости) не выполняется. Далее приступают к построению желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, удовлетворяющей заданным требованиям. После построения желаемой ЛАХ определяют логарифмическую амплитудно-частотную характеристику корректирующего звена путем вычитания из желаемой амплитудно-частотной логарифмической характеристики разомкнутой системы управления логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, составленной только из заданных звеньев. По полученной логарифмической амплитудно-частотной характеристике корректирующего звена составляется его передаточная функция. Естественно, при этом считается, что вся система управления, а следовательно, и корректирующее звено относятся к типу минимально-фазовых.

Поясним изложенную методику на конкретном примере. Допустим, что имеется дискриминатор с передаточной функцией:

и объект управления с нагрузкой, описываемый передаточной функцией:

,

где с, с.

Требуется спроектировать систему автоматического управления, имеющую время установления с, показатель колебательности и коэффициенты динамических ошибок; по положению по скорости .

Решение задачи начинаем с построения логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы, составленной из имеющихся звеньев и . Сначала определим коэффициент усиления разомкнутого контура с учетом требуемых коэффициентов ошибок и . Требование по коэффициенту ошибки по положению автоматически выполняется, так как дискриминатор содержит интегрирующее звено , а следовательно, мы имеем систему астатизма первого порядка (табл. 3.1 при y = 1).

Исходя из табл. 3.1 (y = 1), , где К – коэффициент усиления разомкнутого контура системы управления. По условию задачи , откуда следует, что . С учетом этого можем записать передаточную функцию разомкнутой системы, составленной из имеющихся звеньев. На основании формулы (2.7) можем записать:

.

Таким образом, разомкнутый контур системы управления состоит из идеального интегрируюшего звена и двух апериодических звеньев с постоянными времени и . Логарифмическую амплитудно-частотную характеристику при наличии интегрирующих звеньев необходимо начинать строить с характеристики интегрирующего звена . Как следует из содержания пп. 2.4.4, ЛАХ этого звена пересекает ось lgω на частоте ω = 1000, т.е. lgω =3. Через эту точку на оси абсцисс проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек (рис. 3.14). Далее учитываем наличие в разомкнутом контуре апериодических звеньев и . Частоты сопряжения этих звеньев соответственно равны и . На оси абсцисс это соответствует точкам , . Как следует из содержания 2.4.2, с частоты ω ₁ наклон ЛАХ разомкнутого контура должен измениться на –20 дБ / дек и составить –40 дБ/дек, а с частоты - ещё на –20 дБ / дек и составить –60 дБ/дек. Тогда ЛАХ разомкнутого контура управления системы, составленной из имеющихся звеньев и с учётом необходимого с точки зрения точности коэффициента усиления (K=1000) будет иметь вид, приведенный на рис. 3.14 (верхняя сплошная жирная линия).

ФЧХ разомкнутого контура строится путем алгебраического суммирования ФЧХ интегрирующего и двух апериодических звеньев (нижняя сплошная жирная линия).

Как видно из рис.3.14, если строить систему управления только из имеющихся звеньев и с необходимым коэффициентом усиления (К=1000), то она окажется неустойчивой, так как на частоте среза (в данном случае ) фазовый угол по абсолютной величине превышает 180° и составляет примерно -225°.

Приступаем к построению желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутого контура, обеспечивающей заданные параметры замкнутой системы: время установления с и показатель колебательности М. Точностные характеристики системы мы уже учли, выбрав коэффициент усиления разомкнутой системы равным 1000.

Время установления с можно обеспечить, определив соответствующую частоту среза (полосу пропускания) проектируемой системы по формуле (3.11), из которой следует, что частота среза проектируемой системы должна быть равна:

рад/сек.

Тогда

Учитывая то, что устойчивая система должна иметь ЛАХ в районе частоты среза с наклоном –20 дБ/дек (пп. 3.2.2), проводим через точку 0, 5 на оси абсцисс прямую с наклоном –20 дБ/дек (рис. 3.14, жирная пунктирная линия). По заданному показателю колебательности M=1, 41, используя формулу (3.13), определяем ординату начала (L₂) и конца (L₃) участка с наклоном -20 дБ/дек (рис. 3.14):

Рис.3.14. Построение желаемой ЛАХ, удовлетворяющей требованиям задания на проектирование системы управления

По рис. 3.14 определяем частоты, соответствующие началу () и концу () участка с наклоном –20 дБ/дек. Определив параметры желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики в районе частоты среза системы и саму частоту среза, мы тем самым обеспечили выполнение требований по времени установления (быстродействию) и по показателю колебательности [устойчивости, учитывая выражение (3.14)].

Теперь необходимо состыковать этот участок желаемой ЛАХ с ЛАХ разомкнутого контура системы, реализованной на имеющихся звеньях и (рис. 3.14 - верхняя сплошная жирная линия). При стыковке необходимо учесть два фактора:

- асимптотическая ЛАХ может иметь наклон дБ/дек, где n = 0, ±1, ±2 и т.д.;

- поведение (наклон ЛАХ) на частотах, больших частоты среза, практически не влияет на показатели качества системы управления, однако в большой мере определяет её помехозащищённость (определяет величину случайной ошибки).

Учитывая первый фактор, проводим из точки с координатами () прямую с наклоном – 60 дБ/дек и определяем частоту , на которой эта прямая пересекает ЛАХ разомкнутой системы. Учитывая второй фактор, из точки () проводим прямую с наклоном – 40 дБ/дек, а на частоте увеличиваем наклон ещё на – 20 дБ/дек, т.е. делаем желаемую ЛАХ параллельной ЛАХ разомкнутого контура системы управления, составленной из имеющихся звеньев и . Таким образом, получили желаемую ЛАХ, которая на рис. 3.14 изображена жирной пунктирной линией.

Вычитая из желаемой ЛАХ логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутого контура системы управления, составленной из звеньев и , получаем ЛАХ корректирующего звена, обеспечивающего заданные параметры системы (рис. 3.14, жирная штрихпунктирная линия). Считая систему управления, а следовательно, и корректирующее звено, минимально-фазовыми, по виду ЛАХ корректирующего звена находим его передаточную функцию:

,

где ; - определяется по рис. 3.14.

Построив по желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристике её фазочастотную характеристику (пунктирная тонкая линия), убеждаемся в том, что спроектированная система обладает достаточными запасами устойчивости по фазе (~45°) и амплитуде (~35 дБ).

Таким образом, спроектированная система имеет следующую структурную схему (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Структурная схема спроектированной системы

автоматического управления с заданными параметрами

Интересно отметить, что спроектированная система обладает заданным показателем колебательности. Действительно, запас по фазе получен равным примерно 45°. Используя формулу (3.14), получаем . Это подтверждает корректность приведенной методики синтеза систем автоматического управления с помощью желаемых логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

Вопросы для самопроверки

1. Изобразите графически на комплексной плоскости условие устойчивости замкнутой системы.

2. Дайте формулировку неопределенного критерия устойчивости.

3. Какие критерии устойчивости вы знаете?

4. Дайте формулировку критерия Гурвица.

5. Дайте формулировку критерия Михайлова.

6. Дайте формулировку критерия Найквиста.

7. Как определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы управления?

8. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

Устойчива ли система?

9. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

Устойчива ли система?

10. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

Устойчива ли система?

11. Что называется характеристическим уравнением замкнутой системы?

12. Перечислите показатели качества системы управления.

13. Время установления системы управления составляет 6, 28 с. Определить частоту среза системы управления.

14. Показатель колебательности М=2. Определить запас устойчивости по фазе системы управления.

15. Передаточная функция разомкнутой системы управления имеет вид:

, задающее воздействие g(t) = 5. Определить динамическую ошибку системы управления.

16. Передаточная функция разомкнутой системы управления имеет вид:

, задающее воздействие g(t) = 10. Определить динамическую ошибку системы управления.

17. Передаточная функция разомкнутой системы управления имеет вид: , задающее воздействие g(t) = 5. Определить динамическую ошибку системы управления.

18. Передаточная функция разомкнутой системы равна:

.

Найти зависимость критического коэффициента усиления от постоянной времени Т.