Задача 3. 1.Система 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими у символічному вигляді:

1. Система 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими у символічному вигляді:

2. Головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома

невідомими – це визначник, що складено з коефіцієнтів при невідомих. Він дорівнює:

3. Систему 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими можна розв‘язати методом Крамера, якщо головний визначник системи не дорівнює нулю:

4. Допоміжні визначники для розв‘язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера дорівнюють:

.

5. Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти за формулами Крамера:

,

6. Метод Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в еквівалентних перетвореннях системи, метою яких є послідовне виключення невідомих з рівнянь системи. Еквівалентними називаються такі перетворення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, при яких не змінюється розв‘язок системи.

7. Для зручності перетворення виконують над матрицею, що складена з коефіцієнтів при невідомих і правих частин рівнянь. Ця матриця носить назву розширена матриця системи. Розширена матриця системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими в символічному вигляді:

.

8. При розв’язанні системи методом Гауса з розширеною матрицею системи можна виконувати наступні дії:

а) помножати або ділити будь-який рядок на ненульове число;

б) додавати до будь-якого рядка інший рядок, помножений на ненульове число;

в) міняти рядки місцями.

9. Алгоритм метода Гауса складається з двох етапів: прямого хода і зворотного хода. Прямий хід полягає в перетворенні розширеної матриці системи к ступеневому вигляду, при якому на головній діагоналі тієї частини розширеної матриці, що відповідає головній матриці, стоять одиниці, а нижче – нулі:

.

Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:

10. Зворотний хід метода Гауса полягає в послідовному знаходженні невідомих, починаючи з останнього рівняння:

11. Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти методом оберненої матриці.

12. У відповідність системі 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими ставляться матриці:

а) головна матриця ;

б) матриця-стовпчик невідомих ;

в) матриця-стовпчик вільних членів рівнянь .

13. Матрична форма запису системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими має вигляд:

, або .

14. Якщо визначник головної матриці системи , то для головної матриці системи А існує обернена матриця , що задовольняє умові , де і А – матрицірозміру , Е – одинична матриця того ж розміру.

15. Обернена матриця системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими обчислюється за формулою

,

де - це матриця, що складена з алгебраїчних доповнень до елементів матриці , транспонованої до матриці А.

16. Формула розв’язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими матричним методом має вигляд:

,

де Х і В – матрицірозміру , – матриця розміру .