Задача 10. 1.Гіперболою називається множина точок на площині, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок

1. Гіперболою називається множина точок на площині, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок, які називають фокусами, є сталою величиною 2 а, що менша за відстань між фокусами.

2. На рис.1 зображено гіперболу, де позначено М - точку гіперболи; і - фокуси гіперболи; та – фокальні радіуси; – відстань між фокусами; – модуль різниці відстаней від точки гіперболи до фокусів ; а – дійсна піввісь гіперболи; і - дійсні вершини гіперболи; – відстань від точки М до директриси; – ексцентриситет гіперболи; – уявна піввісь гіперболи.

3. Канонічне рівняння гіперболи, що зображено на рис.1:

.

Гіпербола має дві асимптоти. Це прямі

4. Гіпербола є множиною точок площини, відношення відстаней від яких до фіксованої точки (фокуса) і деякої прямої (директриси) є величина стала, більша за одиницю. Це відношення є ексцентриситетом гіперболи.

Прямі називаються директрисами гіперболи..

5.

6. Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок, які називають фокусами, є сталою величиною 2 а, більшою за відстань між фокусами.

7. На рис.3 зображено еліпс, де позначено М - точку еліпса; і - фокуси еліпса; та – фокальні радіуси; – відстань між фокусами; – сума відстаней від точки еліпса до фокусів ; , , , - вершини еліпса; – відстань від точки М до директриси; – ексцентриситет; , – піввісі еліпса.

Рис.3

8. Канонічне рівняння еліпса, що зображено на рис.3:

.

В цьому випадку еліпс витягнуто вздовж вісі ОХ. Фокуси еліпса в цьому разі мають координати , .

9. У разі, коли , еліпс витягнуто вздовж вісі ОY. В цьому випадку . В цьому разі фокуси еліпса лежать на вісі ОY і мають координати:

, .

10. Відношення називається ексцентриситетом еліпса.

11. Прямі називаються директрисами еліпса.

12. Справедливо наступна властивість директрис: відношення відстаней від фокусу і директриси для точок еліпса є величина стала, яка дорівнює ексцентриситету.

13. Коло – це геометричне місце точок на площині, відстань від яких до деякої фіксованої точки, що називається центом кола, є величиною сталою. Яка називається радіусом кола. Канонічне рівняння кола с центром в точці , радіус якої дорівнює , має вигляд:

.

14. Канонічне рівняння кола с центром в точці - початку координат, радіус якої дорівнює , має вигляд:

.

15. Для того, щоб привести до канонічного вигляду рівняння потрібно розділити обидві його частини на число, що стоїть в правій частині рівняння. В результаті буде отримано рівняння:

.

В залежності від знаків чисел і може бути один з випадків:

а) – отримано рівняння еліпса;

б) – отримано рівняння кола;

в) або – отримано рівняння гіперболи;

г) – лінія з таким рівнянням не існує.