Задача 4. 1.Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими в символічному вигляді:

1. Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими в символічному вигляді:

2. Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими має розширену матрицю:

.

3. Метод Жордана-Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в перетворенні розширеної матриці системи за допомогою таких же перетворень, що і в методі Гауса, к вигляду:

.

4. Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:

В цьому разі система має єдиний розв‘язок, який і знайдено.

5. Система лінійних алгебраїчних, що має єдиний розв’язок називається сумісною і визначеною.

6. Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять тільки нульові елементи, ці рядки викреслюються з матриці.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

.

7. Розширеній матриці, що отримана, відповідає система:

8. В цьому випадку система рівнянь має безліч розв‘язків, які знаходяться з наступних рівностей:

9. Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має безліч розв’язків називається сумісною невизначеною.

10. Змінна в отриманому рішенні може приймати будь-які числові значення і називається вільною змінною. Змінні і , які виражаються через вільну змінну , називаються базисними. Знайдене рішення є загальним розв‘язком системи.

11. Якщо вільній змінній присвоїти довільне числове значення і обчислити значення базисних змінних і , то отримане рішення буде частинним розв‘язком системи. Наприклад при , отримаємо:

12. Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять всі нульові елементи, крім останнього, то система не має розв‘язків.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

13. Розширеній матриці, що отримана, відповідає система

Останнє рівняння цієї системи є протиріччям, тому система не має розв‘язків.

14. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що не має розв‘язків, називають несумісною.